Anàlisi matemàtica
De Viquipèdia
L'anàlisi és la branca de les matemàtiques que tracta dels nombres reals, dels nombres complexes i de les seves funcions.
L'anàlisi té com a punt de partida la formulació rigorosa del càlcul infinitesimal i l'estudi de conceptes tals com la continuïtat, la derivació i l'integració.
[edita] Història
En l'Antiguitat i en la Edat Mitjana respectivament, els matemàtics grecs i hindús van estar interessats en l'infinitesimal i van obtenir resultats prou interessant, però molt fragmentaris. Per raons històriques, els seus successors immediats no varen poder continuar aquests treballs.
L'anàlisi modern va ser establert al segle XVII amb el càlcul infinitesimal de Newton i de Leibniz. En aquella època, els temes d'anàlisi tal com el càlcul infinitesimal, les equacions diferencials, les equacions en derivades parcials, l'anàlisi de Fourier i les funcions engendrades eren principalment desenvolupades en els treballs aplicats. Les tècniques de càlcul infinitesimal eren utilitzades amb èxit per tal d'aproximar problemes discrets, cap a problemes del continu.
Durant tot el segle XVIII, la definició de funció va ser objecte de debat entre els matemàtics. En el segle XIX, Cauchy va ser el primer a donar uns fonaments lògics estrictes del càlcul diferencial introduint el concepte de successió de Cauchy. I també, fou en aquesta època, que s'inicià la teoria formal de l'anàlisi complexa. Poisson, Liouville, Fourier i d'altres estudiaren les equacions en derivades parcials i l'anàlisi harmònica.
A mitjans del segle XIX, Riemann va introduir la seva teoria de la integració: integral de Riemann. Durant l'últim terç del segle XIX, l'anàlisi es va veure aritmetitzat per Karl Weierstrass que opinava que el raonaments geomètrics eren en si mateixos tramposos, introduí també la definició ''εδ'' dels límits. Després els matemàtics començaren a inquietar-se pel fet de no tenir prova de l'existència de continu dels nombres reals. Fins que Richard Dedekind va construir els números reals amb els talls de Dedekind. Al mateix temps, els intents per afinar els teoremes de la integral de Riemann han portat a l'estudi de la mida dels conjunts discontinus de les funcions reals.
A més, “monstres” (funcions contínues en cap part, funcions contínues però derivables en cap part, corbes de farciment de l'espai) començaren a ser descrites. En aquest context, Jordan va desenvolupar la seva teoria sobre la mesura. Cantor va desenvolupar el que avui s'anomena la teoria ingènua dels conjunts. A principis del segle XX, el càlcul infinitesimal es formalitza per la teoria axiomàtica dels conjunts. Lebesgue va solucionar el problema de la mesura, i Hilbert introduí els Espai de Hilbert per solucionar les equacions integrals. La idea de l'espai vectorial normat era força estudiat als anys 1920 i Stefan Banach va crear l'Anàlisi funcional.
[edita] Subdivisions
Avui es pot considerar l'anàlisi dividit en els temes següents:
- Anàlisi real:L'estudi rigorós i formal de les derivades i integrals de funcions amb valors reals. Incloent l'estudi dels límits, de les sèries potencials i de les mesures.
- Anàlisi funcional: L'estudi dels espais funcions i la introducció de conceptes tals com l'espai de Banach i els espais de Hilbert.
- Anàlisi harmònica: L'estudi de les sèries de Fourier i de les seves abstraccions.
- Anàlisi complexa: L'estudi de les funcions del pla complex i que són derivables sobre el conjunt dels nombres complexos.
- Anàlisi no-estandard: L'estudi dels nombres hiperreals i de les seves funcions.
