An??lisi matem??tica

De Viquip??dia

L'an??lisi ??s la branca de les matem??tiques que tracta dels nombres reals, dels nombres complexes i de les seves funcions.

L'an??lisi t?? com a punt de partida la formulaci?? rigorosa del c??lcul infinitesimal i l'estudi de conceptes tals com la continu??tat, la derivaci?? i l'integraci??.

[edita] Hist??ria

En l'Antiguitat i en la Edat Mitjana respectivament, els matem??tics grecs i hind??s van estar interessats en l'infinitesimal i van obtenir resultats prou interessant, per?? molt fragmentaris. Per raons hist??riques, els seus successors immediats no varen poder continuar aquests treballs.

L'an??lisi modern va ser establert al segle XVII amb el c??lcul infinitesimal de Newton i de Leibniz. En aquella ??poca, els temes d'an??lisi tal com el c??lcul infinitesimal, les equacions diferencials, les equacions en derivades parcials, l'an??lisi de Fourier i les funcions engendrades eren principalment desenvolupades en els treballs aplicats. Les t??cniques de c??lcul infinitesimal eren utilitzades amb ??xit per tal d'aproximar problemes discrets, cap a problemes del continu.

Durant tot el segle XVIII, la definici?? de funci?? va ser objecte de debat entre els matem??tics. En el segle XIX, Cauchy va ser el primer a donar uns fonaments l??gics estrictes del c??lcul diferencial introduint el concepte de successi?? de Cauchy. I tamb??, fou en aquesta ??poca, que s'inici?? la teoria formal de l'an??lisi complexa. Poisson, Liouville, Fourier i d'altres estudiaren les equacions en derivades parcials i l'an??lisi harm??nica.

A mitjans del segle XIX, Riemann va introduir la seva teoria de la integraci??: integral de Riemann. Durant l'??ltim ter?? del segle XIX, l'an??lisi es va veure aritmetitzat per Karl Weierstrass que opinava que el raonaments geom??trics eren en si mateixos tramposos, introdu?? tamb?? la definici?? ''????'' dels l??mits. Despr??s els matem??tics comen??aren a inquietar-se pel fet de no tenir prova de l'exist??ncia de continu dels nombres reals. Fins que Richard Dedekind va construir els n??meros reals amb els talls de Dedekind. Al mateix temps, els intents per afinar els teoremes de la integral de Riemann han portat a l'estudi de la mida dels conjunts discontinus de les funcions reals.

A m??s, ???monstres??? (funcions cont??nues en cap part, funcions cont??nues per?? derivables en cap part, corbes de farciment de l'espai) comen??aren a ser descrites. En aquest context, Jordan va desenvolupar la seva teoria sobre la mesura. Cantor va desenvolupar el que avui s'anomena la teoria ing??nua dels conjunts. A principis del segle XX, el c??lcul infinitesimal es formalitza per la teoria axiom??tica dels conjunts. Lebesgue va solucionar el problema de la mesura, i Hilbert introdu?? els Espai de Hilbert per solucionar les equacions integrals. La idea de l'espai vectorial normat era for??a estudiat als anys 1920 i Stefan Banach va crear l'An??lisi funcional.

[edita] Subdivisions

Avui es pot considerar l'an??lisi dividit en els temes seg??ents:

• An??lisi real:L'estudi rigor??s i formal de les derivades i integrals de funcions amb valors reals. Incloent l'estudi dels l??mits, de les s??ries potencials i de les mesures.
• An??lisi funcional: L'estudi dels espais funcions i la introducci?? de conceptes tals com l'espai de Banach i els espais de Hilbert.
• An??lisi harm??nica: L'estudi de les s??ries de Fourier i de les seves abstraccions.
• An??lisi complexa: L'estudi de les funcions del pla complex i que s??n derivables sobre el conjunt dels nombres complexos.
• An??lisi no-estandard: L'estudi dels nombres hiperreals i de les seves funcions.