Nombre complex

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques

Conjunts de nombres

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

Naturals ℕ
Negatius
Enters ℤ
Racionals ℚ
Irracionals
Reals ℝ
Complexos ℂ

Nombres destacables

π ≈ 3,14159265...
e ≈ 2,7182818284...
Φ ≈ 1,6180339887...
i := $\sqrt{-1}$

Nombres amb propietats destacables

Primers $\mathbb{P}$ , Abundants, Amics, Compostos, Defectius, Perfectes, Sociables, Algebraics, Transcendents

Extensions dels
nombres complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
Quaternions $\mathbb{H}$
Octonions $\mathbb{O}$
Setenions
Super-reals
Hiper-reals
Sub-reals

Nombres Especials

Nominals
Ordinals {1r, 2n, ...} (d'ordre)
Cardinals $\{\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3,...\}$
Infinit $\infty$
Nombres infinits
Nombres transfinits

Altres nombres importants

Seqüència d'enters
Constants matemàtiques
Llistat de nombres
Nombres grans

Sistemes de numeració

Àrab, Armeni, Àtica (grega), Babilònica, Xinesa, Ciríl·lica, Egípcia, Etrusca, Grega, Hebrea, Índia, Jònica (grega), Japonesa, Jémer, Maia, Romana, Tailandesa

Numerals en base constant:

El conjunt dels nombres complexos és l' extensió dels reals $\mathbb{R}[i]$ , on i, que s'anomena la unitat imaginària, compleix que $i 2 = - 1$ . Els conjunt dels nombres complexos es representa per la lletra $\mathbb{C}$ .

Intuïtivament, es tracta del conjunt de nombres que resulta de la suma disjunta del conjunt dels nombres reals i el dels nombres imaginaris purs.

[edita] Notació

Els nombres complexos es poden representar de dues maneres, com a suma de les components real i imaginària (representació cartesiana), o com a mòdul amb angle (representació polar).

[edita] Notació cartesiana

En la seva representació cartesiana, un complex pren aquesta forma: a + bi, on a és la component real, i b és la component imaginària. Per exemple: $4$ ; $3 + 5 i$ ; $57 - 3 i$ o $10 i$ són nombres complexos.

Es pot veure gràficament en uns eixos cartesians, on l'eix d'abcisses representa la component real, i l'eix d'ordenades la component imaginària.

[edita] Notació polar

En la representació polar, un complex pren la forma: $\mathbf{r_\phi}$ , on $\mathbf{r}$ és el mòdul del nombre complex, i $\mathbf{\phi}$ és l'angle del complex (però, la notació habitual és ${\mathbf r}\, \mathrm{e}^{i\,\mathbf{\phi}}$ , on $\mathrm{e}^{i\,\mathbf{\phi}} = \cos \phi + i \sin \phi$ ).

[edita] Equivalències entre notació cartesiana i notació polar

Per passar d'un tipus de notació a una altra s'utilitzen les següents expressions:

Pas de cartesiana a polar (part real no negativa):

$\mathbf{r}=\sqrt{a^2+b^2}$

$\tan{\mathbf{\phi}}=\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}$

L'arctangent retorna angles entre —180º i 180º, per tant per a complexos amb part real positiva l'angle es calcula com:

$\mathbf{\phi}=\arctan{\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}}$

Si el complex té part real negativa es transforma en un complex de part real positiva prenent —1 $(-1=1_{180^o})$ com a factor comú. $\mathbf{a}+\mathbf{b}\cdot i=-1\cdot(-\mathbf{a}-\mathbf{b}\cdot i)$ . L'angle s'obté com:

$\mathbf{\phi}=180^o+\arctan{\frac{-\mathbf{b}}{-\mathbf{a}}}=180^o+\arctan{\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}}$

Pas de polar a cartesiana

$\mathbf{a}=\mathbf{r}\cdot\cos\mathbf{\phi}$

$\mathbf{b}=\mathbf{r}\cdot\sin\mathbf{\phi}$

[edita] Visió geomètrica

Els nombres complexos, per a visualitzar-los geomètricament es poden identificar amb $\mathbb{R}^2$ . Tenim una bijecció $\mathbb{R}^2 \simeq \mathbb{C}$ que identifica el nombre $a+b\cdot i \in \mathbb{C}$ amb el vector $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ . D'aquesta manera podem visualitzar el conjunt dels nombres complexos com un pla.

[edita] Operacions amb nombres complexos

Les operacions amb nombres complexos demanaran una notació cartesiana o polar, depenent de la operació que es faci. Per això, es important saber passar d'un tipus de notació a una altra per poder operar amb nombres complexos.

[edita] Suma i resta

Per sumar dos nombres complexos s'ha d'utilitzar la notació cartesiana.

Notació cartesiana:

Es sumen les components reals dels sumands i les components imaginàries per separat:

a + b i + a' + b i = (a + a') + (b + b') i

Exemple:

2 + 3 i + 3 - 5 i = 5 - 2 i

Per restar es fa de manera semblant:

$: a + b i - (a' + b' i) = a + b i + ( - a') + ( - b') i = (a - a') + (b - b') i$

Exemple:

2 - 4 i - 3 + 5 i = (2 - 3) + ( - 4 + 5) i = - 1 + 1 i

[edita] Multiplicació

Per multiplicar dos nombres complexos es pot utilitzar qualsevol de les dues notacions:

Notació cartesiana:

(a + b i).(a' + b' i) = a . a' + a . b' i + b i . a' + b i . b' i

Com que $i . i = - 1$ i agrupant els sumands resulta que:

(a + b i).(a' + b' i) = (a . a' - b . b') + (a . b' + b . a') i

Exemple:

(2 - 4 i).(3 + 5 i) = (2.3 - ( - 4).5) + (2.5 + ( - 4).3) = 26 - 2 i

Notació polar

$r _\phi\cdot r' _{\phi'}=r \cdot r'_{\phi + \phi'}$

Exemple:

$10_{30}\cdot 5 _{10}=10\cdot 5_{30 + 10}=50_{40}$

[edita] Divisió

Per dividir dos nombres complexos s'utilitza normalment la notació polar, per ser la forma més fàcil. Tot i així també es pot operar amb la notació cartesiana.

Notació polar

$\frac{r _\phi}{r' _{\phi'}}=\frac{r}{r'_{\phi - \phi'}}$

Exemple:

$\frac{10_{30}}{5 _{10}}=\left( \frac{10}{5}\right)_{30 - 10}=2_{20}$

Notació cartesiana

$\frac{a+b\mathbf{i}}{a'+b'\mathbf{i}}=\frac{(a+b\mathbf{i})\cdot(a'-b'\mathbf{i})}{(a'+b'\mathbf{i})\cdot (a'-b'\mathbf{i})}=\frac{a\cdot a'- a\cdot b'\mathbf{i}+b\mathbf{i}\cdot a'- b\mathbf{i} \cdot b'\mathbf{i}}{a'^2-(b'\mathbf{i})^2}=$