Nombre perfecte

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques

Conjunts de nombres

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ Naturals ℕ Negatius Enters ℤ Racionals ℚ Irracionals Reals ℝ Complexos ℂ

Nombres destacables

π ≈ 3,14159265... e ≈ 2,7182818284... Φ ≈ 1,6180339887... i :=

Nombres amb propietats destacables

Primers , Abundants, Amics, Compostos, Defectius, Perfectes, Sociables, Algebraics, Transcendents

Extensions dels nombres complexos

Bicomplexos Hipercomplexos Quaternions Octonions Setenions Super-reals Hiper-reals Sub-reals

Nombres Especials

Nominals Ordinals {1r, 2n, ...} (d'ordre) Cardinals Infinit Nombres infinits Nombres transfinits

Altres nombres importants

Seqüència d'enters Constants matemàtiques Llistat de nombres Nombres grans

Sistemes de numeració

Àrab, Armeni, Àtica (grega), Babilònica, Xinesa, Ciríl·lica, Egípcia, Etrusca, Grega, Hebrea, Índia, Jònica (grega), Japonesa, Jémer, Maia, Romana, Tailandesa Numerals en base constant: Binari (2) Quinari (5) Octal (8) Decimal (10) Duodecimal (12) Hexadecimal (16) Vigesimal (20) Sexagesimal (60)

Un nombre perfecte és un enter que és igual a la suma dels seus divisors positius, excepte ell mateix. Així, 6 és un nombre perfecte, perquè els seus divisors propis són 1, 2 i 3, i 6 = 1 + 2 + 3. Els següents nombres perfectes són 28, 496 i 8.128.

Els nombres perfectes estan relacionats amb els nombres primers de Mersenne: si M és un primer de Mersenne (un nombre primer que és una unitat menor que una potència de 2), aleshores M(M+1)/2 és un nombre perfecte, és a dir, que 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) és un nombre perfecte. Això va ser demostrat per Euclides en el segle IV abans de la nostra era:

per a n = 2:   2¹(2² − 1) = 6

per a n = 3:   2²(2³ − 1) = 28

per a n = 5:   2⁴(2⁵ − 1) = 496

per a n = 7:   2⁶(2⁷ − 1) = 8128

A més, Euler va demostrar en el segle XVIII que tots els nombres perfectes parells són d'aquesta forma. També està demostrat que l'última xifra de qualsevol nombre perfecte parell ha de ser 6 o 8.

No es coneix l'existència de nombres perfectes senars. No obstant això, existeixen alguns resultats parcials: si existeix un nombre perfecte imparell, ha de complir, entre altres les condicions següents: ser major que 10³⁰⁰; tenir almenys 8 factors primers diferents (i com a mínim 11 si no és divisible per 3); un d'aquests factors ha de ser major que 10⁷, dos d'ells han de ser majors que 10.000 i tres han ser majors que 100; tenir, com a mínim, 75 factors primers (incloent-hi repeticions).

Considerant la suma dels divisors propis existeixen altres tipus de nombres.

• Nombres deficients: la suma dels divisors propis és menor que dues vegades el nombre.
• Nombres abundants: la suma és major que dues vegades el nombre.
• Nombres amics: a i b són tals que a és la suma dels divisors de b i viceversa.
• Nombres sociables: com els amics, però amb un cicle major de nombres.

Es pot dir que el nombre perfecte és un nombre amic de si mateix.

[edita] Implementació en informàtica

En C++ es pot escriure un codi com el que segueix per tal de trobar si un nombre és perfecte.

int suma_divisors(int n) {
   //funció per a sumar els dígits d'un nombre
   int s = 0; //suma
   int i=1;
   while(i < n){
       if(n%i == 0) s += i;
       ++i;
   }
   return s;
}


bool es_perfecte(int n){
   if(n == 0) return false;
   return n == suma_divisors(n);
}