Nombre perfecte
De Viquipèdia
| Sistema de nombres en matemàtiques |
| Conjunts de nombres |
| Nombres destacables |
| Nombres amb propietats destacables |
|
Primers |
| Extensions dels nombres complexos |
|
| Nombres Especials |
|
| Altres nombres importants |
|
Seqüència d'enters |
| Sistemes de numeració |
|
Àrab, Armeni, Àtica (grega), Babilònica, Xinesa, Ciríl·lica, Egípcia, Etrusca, Grega, Hebrea, Índia, Jònica (grega), Japonesa, Jémer, Maia, Romana, Tailandesa
|
, 
Un nombre perfecte és un enter que és igual a la suma dels seus divisors positius, excepte ell mateix. Així, 6 és un nombre perfecte, perquè els seus divisors propis són 1, 2 i 3, i 6 = 1 + 2 + 3. Els següents nombres perfectes són 28, 496 i 8.128.
Els nombres perfectes estan relacionats amb els nombres primers de Mersenne: si M és un primer de Mersenne (un nombre primer que és una unitat menor que una potència de 2), aleshores M(M+1)/2 és un nombre perfecte, és a dir, que 2n−1(2n − 1) és un nombre perfecte. Això va ser demostrat per Euclides en el segle IV abans de la nostra era:
- per a n = 2: 21(22 − 1) = 6
- per a n = 3: 22(23 − 1) = 28
- per a n = 5: 24(25 − 1) = 496
- per a n = 7: 26(27 − 1) = 8128
A més, Euler va demostrar en el segle XVIII que tots els nombres perfectes parells són d'aquesta forma. També està demostrat que l'última xifra de qualsevol nombre perfecte parell ha de ser 6 o 8.
No es coneix l'existència de nombres perfectes senars. No obstant això, existeixen alguns resultats parcials: si existeix un nombre perfecte imparell, ha de complir, entre altres les condicions següents: ser major que 10300; tenir almenys 8 factors primers diferents (i com a mínim 11 si no és divisible per 3); un d'aquests factors ha de ser major que 107, dos d'ells han de ser majors que 10.000 i tres han ser majors que 100; tenir, com a mínim, 75 factors primers (incloent-hi repeticions).
Considerant la suma dels divisors propis existeixen altres tipus de nombres.
- Nombres deficients: la suma dels divisors propis és menor que dues vegades el nombre.
- Nombres abundants: la suma és major que dues vegades el nombre.
- Nombres amics: a i b són tals que a és la suma dels divisors de b i viceversa.
- Nombres sociables: com els amics, però amb un cicle major de nombres.
Es pot dir que el nombre perfecte és un nombre amic de si mateix.
[edita] Implementació en informàtica
En C++ es pot escriure un codi com el que segueix per tal de trobar si un nombre és perfecte.
int suma_divisors(int n) {
//funció per a sumar els dígits d'un nombre
int s = 0; //suma
int i=1;
while(i < n){
if(n%i == 0) s += i;
++i;
}
return s;
}
bool es_perfecte(int n){
if(n == 0) return false;
return n == suma_divisors(n);
}
