Infinit

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques

Conjunts de nombres

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

Naturals ℕ
Negatius
Enters ℤ
Racionals ℚ
Irracionals
Reals ℝ
Complexos ℂ

Nombres destacables

π ≈ 3,14159265...
e ≈ 2,7182818284...
Φ ≈ 1,6180339887...
i := $\sqrt{-1}$

Nombres amb propietats destacables

Primers $\mathbb{P}$ , Abundants, Amics, Compostos, Defectius, Perfectes, Sociables, Algebraics, Transcendents

Extensions dels
nombres complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
Quaternions $\mathbb{H}$
Octonions $\mathbb{O}$
Setenions
Super-reals
Hiper-reals
Sub-reals

Nombres Especials

Nominals
Ordinals {1r, 2n, ...} (d'ordre)
Cardinals $\{\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3,...\}$
Infinit $\infty$
Nombres infinits
Nombres transfinits

Altres nombres importants

Seqüència d'enters
Constants matemàtiques
Llistat de nombres
Nombres grans

Sistemes de numeració

Àrab, Armeni, Àtica (grega), Babilònica, Xinesa, Ciríl·lica, Egípcia, Etrusca, Grega, Hebrea, Índia, Jònica (grega), Japonesa, Jémer, Maia, Romana, Tailandesa

Numerals en base constant:

En matemàtiques l'infinit, representat amb el símbol ∞ ( $\infty$ ), és la cota superior del conjunt del nombres reals.

Tanmateix, no es tracta d'un nombre en si, sinó d'un concepte al qual hom només s'hi pot aproximar mitjançant límits. Per exemple, a la funció $f(x)={1 \over x^2}$ , quan x tendeix a 0 (és dir, s'aproxima cada cop més a 0), $f (x)$ tendeix a l'infinit (es fa cada cop més gran), però no es diu que arriba al valor "infinit".

Taula de continguts

1 Símbol
2 Propietats de l'infinit
3 Propietats aritmètiques de l'infinit
4 Infinit de primer ordre
5 Infinit de segon ordre
- 5.1 Demostració
- 5.2 Conseqüències
6 Vegeu també

[edita] Símbol

El símbol de l'infinit va ser introduït pel matemàtic anglès John Wallis al 1655. Posseeix la forma de la Lemniscata de Bernoulli, encara que realment es desconeix d'on Wallis va treure l'idea. Molts comenten que té la forma d'una banda de Moebius, però no és cert, ja que el descobriment d'August Möbius va ser posterior. Altres opinen que són dues lletres alfa plegades, de manera que tanquin un tot.

[edita] Propietats de l'infinit

No és realment un nombre.
Tot nombre dividit per zero, excepte el zero, dóna com a resultat l'infinit.
Indica l'impossibilitat de realitzar alguna operació sobre cert valor numèric.
A pesar de tot, si s'observen punts molt pròxims (això vol dir cercar el Límit), es comprove que apropant-se prou, els resultats poden superar qualsevol valor prefixat per molt gran que sigui.

[edita] Propietats aritmètiques de l'infinit

L'infinit no és un nombre real, però pot ser considerat part del conjunt extès dels nombres reals, on les operacions aritmètiques amb l'infinit es poden dur a terme.

[edita] Operacions de l'infinit amb ell mateix

$\infty + \infty = \infty \cdot \infty = (-\infty) \cdot (-\infty) = \infty$
$(-\infty) + (-\infty) = \infty \cdot (-\infty) = (-\infty) \cdot \infty = (-\infty)$

[edita] Operacions de l'infinit amb nombres reals

$-\infty < x < \infty$
$x + \infty = \infty$ i $x + (-\infty) = (-\infty)$
$x - \infty = -\infty$
$x - (-\infty) = \infty$
${x \over \infty} = 0$ i ${x \over -\infty} = 0$
Si $0<x<\infty$ aleshores $x \cdot \infty = \infty$ i $x \cdot (-\infty) = (-\infty)$ .
Si $-\infty<x<0$ aleshores $x \cdot \infty = -\infty$ i $x \cdot (-\infty) = \infty$ .

[edita] Operacions no definides

$0 \cdot \infty$ i $0 \cdot (-\infty)$
$\infty + (-\infty)$ i $(-\infty) + \infty$
${\pm\infty \over \pm\infty}$
${\pm\infty}^0$
$1^{\pm\infty}$

També s'ha de dir que $[{x \over \infty} = 0] \not\equiv [0 \cdot \infty = x]$ , ja que 0 vegades infinit no està definit.

[edita] Infinit de primer ordre

Formalment el concepte d'infinit neix amb la creació, per part principalment de Georg Cantor, de la teoria de conjunts. En aquesta es treballa amb col·leccions tancades (respecte l'operador intern) d'elements de qualsevol mena; doncs bé, un dels primers aspectes definidors del dit conjunt que apareix de manera natural és com de gran és aquest conjunt. Òbviament, en el càlcul de potències de conjunts finits, la definició és òbvia i evident, no així en el cas de conjunts formats per un nombre "infinit" de termes.

Quan un conjunt té un nombre indeterminat d'elements no es poden comptar (el propi article explica el perquè), així doncs l'única cosa que resta per a poder fer serà comparar el conjunt d'infinits elements amb algun que es faci servir de patró. Històricament es va agafar el conjunt dels nombres naturals com a patró, i s'hi va associar la potència $\aleph_0$ ; un cop fet això es procedeix a escollir qualsevol altre conjunt de nombre indeterminat d'elements i procedir a la seva comparança (si un conjunt té per potència $\aleph_0$ se'n diu numerable). Imagine el lector que s'escull el conjunt de nombres racionals, hom pot pensar que, per estar els nombres racionals definits per la divisió no sencera de dos nombres sencers, es tenen dos graus de llibertat i per tant la cardinalitat del conjunt en qüestió és major que la del patró escollit abans ( $\aleph_0$ ). Res més lluny de la realitat, com es pot rumiar ràpidament, una manera de comprovar la potència del nostre conjunt respecte de la del conjunt de nombres naturals és posar-los en relació biunívoca, és a dir, relacionar-los un a un. Doncs bé, una manera de relacionar-los seria considerar qualsevol nombre racional com $n={a \over b}$ , on a i b son nombres coprimers; si es fa una llista amb un cert criteri, per exemple ascendent ,aquesta quedarà ordenada directament (vegeu que en aquest cas, per ser el conjunt de nombres naturals un conjunt totalment ordenat es pot fer aquesta afirmació). Doncs si s'aplica el criteri de alçada a l'hora d'ordenar la llista, definint com a alçada la suma de valors absoluts de numerador i denominador, es té que l'unic nombre racional que té alçada 1 és el $n={0 \over 1}$ , d'alçada dos en tenim $n={-1 \over 1}$ i $n={1 \over 1}$ , d'alçada 3 seran $n={2 \over 1}$ , $n={1 \over 2}$ , $n={-2 \over 1}$ i $n={-1 \over 2}$ ... Com es pot veure és possible crear una taula tal com:

+	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

Aquesta taula, òbviament, continua fins allà on es vulga. Es pot comprovar com les diagonals ascendents (les que ascendeixen d'esquerra a dreta) tenen sempre un valor constant, aquest valor és precisament l'alçada abans esmentada, i el nombre de nombres racionals que les compleixen son els valors de la primera fila i primera columna de cada element de la diagonal. Així les coses, els nombres racionals d'alçada 4 seran (tot veient la taula) $n={1 \over 3}$ , $n={3 \over 1}$ i $n={2 \over 2}$ , i a aquests se'ls han d'afegir els corresponents negatius, en total sis nombres racionals. Per tant cada alçada n tindrà 2*(n-1) nombres racionals associats. Arribats a aquest punt cal comentar que a l'hora de construir la taula s'han afegit nombres racionals reductibles (és a dir, que els seus numerador i denominador no són coprimers), això però no afecta al estar comparant un conjunt major que el dels racionals.

Així doncs es veu com es pot establir una relació biunívoca entre un nombre natural qualsevol n i un conjunt finit d'elements de nombre 2*(n-1). Per últim queda demostrar si la suma numerable de conjunts finits o numerables és numerable. Aquest lema exactament igual a com s'ha demostrat l'anterior, fent ús de taules que permetin relacionar cadascun dels cinjunts amb els nombres naturals.

Ara ja s'ha vist que el conjunt de nombres racionals és numerable, i per extensió, que la suma numerable de conjunts numerables és numerable, per tant es pot intuir que el conjunt format per totes les possibles potències associades a conjunts segueix un comportament vers els seus operadors interns certament especial.

[edita] Infinit de segon ordre

[edita] Demostració

Un cop vist un conjunt de potència igual a la dels naturals, vegi's un exemple de conjunt de potència major que la dels naturals: els nombres reals. A l'hora de demostrar que la potència associada als reals és superior a la dels naturals ens centrarem a l'intèrval [0,1], posteriorment s'explicarà perquè podem extrapolar el resultat que s'obtindrà a tota la recta real. Doncs bé, un cop centrat l'entorn sobre el qual es treballarà, es pregunta quina diferència hi ha entre el conjunt de nombres reals i el dels naturals: intuitivament allò que defineix una recta real és que entre dos elements qualssevol d'aquest conjunt sempre es podrà trobar un que estigui entremig, és a dir, que si s'ordena el conjunt mitjançant una relació binària qualsevol (que podem denotar amb el signe <), sempre s'hi trobaran tres elements a,b,c tals que: a<c<b.

En relació al conjunt de nombres naturals això és com si s'interpolès una quantitat no numerable de conjunts numerables, ja que s'hauria de passar d'un conjunt discret a un de continu, és de fet aquí on rau la diferència entre reals i naturals, la seva naturalesa és diferent. Un cop demostrat que és impossible relacionar naturals i reals es passa a associar una potència a quest nou conjunt: $\aleph_1$ , la qual se'n diu potència de continu.

[edita] Conseqüències

El fet de que els reals tinguin una potència superior a la dels naturals és però més profunda que el simple fet que no puguem relacionar ambdós conjunts de manera biunívoca. El fet és que anteriorment s'ha enunciat un lema segons el qual la suma numerable de conjunts numerables és numerable, i per altra banda s'ha dit que el conjunt dels reals està formada per la unió no numerable de conjunts numerables (els naturals); per tant aquí s'observa que en realitat a l'hora de conformar la recta real el que es fa és compactar el conjunt dels naturals per crear densitat numerable, i els forats restants els cobrim amb nombres irracionals, això prova que entre dos nombres irracionals hi ha racionals.

Per tant ja s'ha vist que el nombre infinit no és més que la representació de la potència d'un conjunt infinit, i que aquest pot tenir diferents potències segons a quina mena de conjunt vagi associat.

[edita] Vegeu també

Asímptota
Infinitesimal
Límit
Nombres infinits
Paradoxa sobre l'infinit

Categoria: Nombres