Infinit

De Viquip??dia

Sistema de nombres en matem??tiques

Conjunts de nombres

??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???

Naturals ???
Negatius
Enters ???
Racionals ???
Irracionals
Reals ???
Complexos ???

Nombres destacables

?? ??? 3,14159265...
e ??? 2,7182818284...
?? ??? 1,6180339887...
i := $\sqrt{-1}$

Nombres amb propietats destacables

Primers $\mathbb{P}$ , Abundants, Amics, Compostos, Defectius, Perfectes, Sociables, Algebraics, Transcendents

Extensions dels
nombres complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
Quaternions $\mathbb{H}$
Octonions $\mathbb{O}$
Setenions
Super-reals
Hiper-reals
Sub-reals

Nombres Especials

Nominals
Ordinals {1r, 2n, ...} (d'ordre)
Cardinals $\{\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3,...\}$
Infinit $\infty$
Nombres infinits
Nombres transfinits

Altres nombres importants

Seq????ncia d'enters
Constants matem??tiques
Llistat de nombres
Nombres grans

Sistemes de numeraci??

??rab, Armeni, ??tica (grega), Babil??nica, Xinesa, Cir??l??lica, Eg??pcia, Etrusca, Grega, Hebrea, ??ndia, J??nica (grega), Japonesa, J??mer, Maia, Romana, Tailandesa

Numerals en base constant:

En matem??tiques l'infinit, representat amb el s??mbol ??? ( $\infty$ ), ??s la cota superior del conjunt del nombres reals.

Tanmateix, no es tracta d'un nombre en si, sin?? d'un concepte al qual hom nom??s s'hi pot aproximar mitjan??ant l??mits. Per exemple, a la funci?? $f(x)={1 \over x^2}$ , quan x tendeix a 0 (??s dir, s'aproxima cada cop m??s a 0), $f (x)$ tendeix a l'infinit (es fa cada cop m??s gran), per?? no es diu que arriba al valor "infinit".

Taula de continguts

1 S??mbol
2 Propietats de l'infinit
3 Propietats aritm??tiques de l'infinit
4 Infinit de primer ordre
5 Infinit de segon ordre
- 5.1 Demostraci??
- 5.2 Conseq????ncies
6 Vegeu tamb??

[edita] S??mbol

El s??mbol de l'infinit va ser introdu??t pel matem??tic angl??s John Wallis al 1655. Posseeix la forma de la Lemniscata de Bernoulli, encara que realment es desconeix d'on Wallis va treure l'idea. Molts comenten que t?? la forma d'una banda de Moebius, per?? no ??s cert, ja que el descobriment d'August M??bius va ser posterior. Altres opinen que s??n dues lletres alfa plegades, de manera que tanquin un tot.

[edita] Propietats de l'infinit

No ??s realment un nombre.
Tot nombre dividit per zero, excepte el zero, d??na com a resultat l'infinit.
Indica l'impossibilitat de realitzar alguna operaci?? sobre cert valor num??ric.
A pesar de tot, si s'observen punts molt pr??xims (aix?? vol dir cercar el L??mit), es comprove que apropant-se prou, els resultats poden superar qualsevol valor prefixat per molt gran que sigui.

[edita] Propietats aritm??tiques de l'infinit

L'infinit no ??s un nombre real, per?? pot ser considerat part del conjunt ext??s dels nombres reals, on les operacions aritm??tiques amb l'infinit es poden dur a terme.

[edita] Operacions de l'infinit amb ell mateix

$\infty + \infty = \infty \cdot \infty = (-\infty) \cdot (-\infty) = \infty$
$(-\infty) + (-\infty) = \infty \cdot (-\infty) = (-\infty) \cdot \infty = (-\infty)$

[edita] Operacions de l'infinit amb nombres reals

$-\infty < x < \infty$
$x + \infty = \infty$ i $x + (-\infty) = (-\infty)$
$x - \infty = -\infty$
$x - (-\infty) = \infty$
${x \over \infty} = 0$ i ${x \over -\infty} = 0$
Si $0<x<\infty$ aleshores $x \cdot \infty = \infty$ i $x \cdot (-\infty) = (-\infty)$ .
Si $-\infty<x<0$ aleshores $x \cdot \infty = -\infty$ i $x \cdot (-\infty) = \infty$ .

[edita] Operacions no definides

$0 \cdot \infty$ i $0 \cdot (-\infty)$
$\infty + (-\infty)$ i $(-\infty) + \infty$
${\pm\infty \over \pm\infty}$
${\pm\infty}^0$
$1^{\pm\infty}$

Tamb?? s'ha de dir que $[{x \over \infty} = 0] \not\equiv [0 \cdot \infty = x]$ , ja que 0 vegades infinit no est?? definit.

[edita] Infinit de primer ordre

Formalment el concepte d'infinit neix amb la creaci??, per part principalment de Georg Cantor, de la teoria de conjunts. En aquesta es treballa amb col??leccions tancades (respecte l'operador intern) d'elements de qualsevol mena; doncs b??, un dels primers aspectes definidors del dit conjunt que apareix de manera natural ??s com de gran ??s aquest conjunt. ??bviament, en el c??lcul de pot??ncies de conjunts finits, la definici?? ??s ??bvia i evident, no aix?? en el cas de conjunts formats per un nombre "infinit" de termes.

Quan un conjunt t?? un nombre indeterminat d'elements no es poden comptar (el propi article explica el perqu??), aix?? doncs l'??nica cosa que resta per a poder fer ser?? comparar el conjunt d'infinits elements amb algun que es faci servir de patr??. Hist??ricament es va agafar el conjunt dels nombres naturals com a patr??, i s'hi va associar la pot??ncia $\aleph_0$ ; un cop fet aix?? es procedeix a escollir qualsevol altre conjunt de nombre indeterminat d'elements i procedir a la seva comparan??a (si un conjunt t?? per pot??ncia $\aleph_0$ se'n diu numerable). Imagine el lector que s'escull el conjunt de nombres racionals, hom pot pensar que, per estar els nombres racionals definits per la divisi?? no sencera de dos nombres sencers, es tenen dos graus de llibertat i per tant la cardinalitat del conjunt en q??esti?? ??s major que la del patr?? escollit abans ( $\aleph_0$ ). Res m??s lluny de la realitat, com es pot rumiar r??pidament, una manera de comprovar la pot??ncia del nostre conjunt respecte de la del conjunt de nombres naturals ??s posar-los en relaci?? biun??voca, ??s a dir, relacionar-los un a un. Doncs b??, una manera de relacionar-los seria considerar qualsevol nombre racional com $n={a \over b}$ , on a i b son nombres coprimers; si es fa una llista amb un cert criteri, per exemple ascendent ,aquesta quedar?? ordenada directament (vegeu que en aquest cas, per ser el conjunt de nombres naturals un conjunt totalment ordenat es pot fer aquesta afirmaci??). Doncs si s'aplica el criteri de al??ada a l'hora d'ordenar la llista, definint com a al??ada la suma de valors absoluts de numerador i denominador, es t?? que l'unic nombre racional que t?? al??ada 1 ??s el $n={0 \over 1}$ , d'al??ada dos en tenim $n={-1 \over 1}$ i $n={1 \over 1}$ , d'al??ada 3 seran $n={2 \over 1}$ , $n={1 \over 2}$ , $n={-2 \over 1}$ i $n={-1 \over 2}$ ... Com es pot veure ??s possible crear una taula tal com:

+	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

Aquesta taula, ??bviament, continua fins all?? on es vulga. Es pot comprovar com les diagonals ascendents (les que ascendeixen d'esquerra a dreta) tenen sempre un valor constant, aquest valor ??s precisament l'al??ada abans esmentada, i el nombre de nombres racionals que les compleixen son els valors de la primera fila i primera columna de cada element de la diagonal. Aix?? les coses, els nombres racionals d'al??ada 4 seran (tot veient la taula) $n={1 \over 3}$ , $n={3 \over 1}$ i $n={2 \over 2}$ , i a aquests se'ls han d'afegir els corresponents negatius, en total sis nombres racionals. Per tant cada al??ada n tindr?? 2*(n-1) nombres racionals associats. Arribats a aquest punt cal comentar que a l'hora de construir la taula s'han afegit nombres racionals reductibles (??s a dir, que els seus numerador i denominador no s??n coprimers), aix?? per?? no afecta al estar comparant un conjunt major que el dels racionals.

Aix?? doncs es veu com es pot establir una relaci?? biun??voca entre un nombre natural qualsevol n i un conjunt finit d'elements de nombre 2*(n-1). Per ??ltim queda demostrar si la suma numerable de conjunts finits o numerables ??s numerable. Aquest lema exactament igual a com s'ha demostrat l'anterior, fent ??s de taules que permetin relacionar cadascun dels cinjunts amb els nombres naturals.

Ara ja s'ha vist que el conjunt de nombres racionals ??s numerable, i per extensi??, que la suma numerable de conjunts numerables ??s numerable, per tant es pot intuir que el conjunt format per totes les possibles pot??ncies associades a conjunts segueix un comportament vers els seus operadors interns certament especial.

[edita] Infinit de segon ordre

[edita] Demostraci??

Un cop vist un conjunt de pot??ncia igual a la dels naturals, vegi's un exemple de conjunt de pot??ncia major que la dels naturals: els nombres reals. A l'hora de demostrar que la pot??ncia associada als reals ??s superior a la dels naturals ens centrarem a l'int??rval [0,1], posteriorment s'explicar?? perqu?? podem extrapolar el resultat que s'obtindr?? a tota la recta real. Doncs b??, un cop centrat l'entorn sobre el qual es treballar??, es pregunta quina difer??ncia hi ha entre el conjunt de nombres reals i el dels naturals: intuitivament all?? que defineix una recta real ??s que entre dos elements qualssevol d'aquest conjunt sempre es podr?? trobar un que estigui entremig, ??s a dir, que si s'ordena el conjunt mitjan??ant una relaci?? bin??ria qualsevol (que podem denotar amb el signe <), sempre s'hi trobaran tres elements a,b,c tals que: a<c<b.

En relaci?? al conjunt de nombres naturals aix?? ??s com si s'interpol??s una quantitat no numerable de conjunts numerables, ja que s'hauria de passar d'un conjunt discret a un de continu, ??s de fet aqu?? on rau la difer??ncia entre reals i naturals, la seva naturalesa ??s diferent. Un cop demostrat que ??s impossible relacionar naturals i reals es passa a associar una pot??ncia a quest nou conjunt: $\aleph_1$ , la qual se'n diu pot??ncia de continu.

[edita] Conseq????ncies

El fet de que els reals tinguin una pot??ncia superior a la dels naturals ??s per?? m??s profunda que el simple fet que no puguem relacionar ambd??s conjunts de manera biun??voca. El fet ??s que anteriorment s'ha enunciat un lema segons el qual la suma numerable de conjunts numerables ??s numerable, i per altra banda s'ha dit que el conjunt dels reals est?? formada per la uni?? no numerable de conjunts numerables (els naturals); per tant aqu?? s'observa que en realitat a l'hora de conformar la recta real el que es fa ??s compactar el conjunt dels naturals per crear densitat numerable, i els forats restants els cobrim amb nombres irracionals, aix?? prova que entre dos nombres irracionals hi ha racionals.

Per tant ja s'ha vist que el nombre infinit no ??s m??s que la representaci?? de la pot??ncia d'un conjunt infinit, i que aquest pot tenir diferents pot??ncies segons a quina mena de conjunt vagi associat.

[edita] Vegeu tamb??

As??mptota
Infinitesimal
L??mit
Nombres infinits
Paradoxa sobre l'infinit

Categoria: Nombres