Codi binari

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques

Conjunts de nombres

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

Naturals ℕ
Negatius
Enters ℤ
Racionals ℚ
Irracionals
Reals ℝ
Complexos ℂ

Nombres destacables

π ≈ 3,14159265...
e ≈ 2,7182818284...
Φ ≈ 1,6180339887...
i := $\sqrt{-1}$

Nombres amb propietats destacables

Primers $\mathbb{P}$ , Abundants, Amics, Compostos, Defectius, Perfectes, Sociables, Algebraics, Transcendents

Extensions dels
nombres complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
Quaternions $\mathbb{H}$
Octonions $\mathbb{O}$
Setenions
Super-reals
Hiper-reals
Sub-reals

Nombres Especials

Nominals
Ordinals {1r, 2n, ...} (d'ordre)
Cardinals $\{\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3,...\}$
Infinit $\infty$
Nombres infinits
Nombres transfinits

Altres nombres importants

Seqüència d'enters
Constants matemàtiques
Llistat de nombres
Nombres grans

Sistemes de numeració

Àrab, Armeni, Àtica (grega), Babilònica, Xinesa, Ciríl·lica, Egípcia, Etrusca, Grega, Hebrea, Índia, Jònica (grega), Japonesa, Jémer, Maia, Romana, Tailandesa

Numerals en base constant:

El codi binari és un sistema de numeració en el qual totes les quantitats es representen utilitzant com base dues xifres: zero i un (0 i 1). En altres paraules, és un sistema de numeració de base 2, mentre que el sistema que utilitzem més habitualment és de base 10, o decimal.

Els ordinadors treballen internament amb dos nivells de voltatge, pel que el seu sistema de numeració natural és el sistema binari (encès, apagat).

Si el sistema decimal treballa amb deu xifres (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), el sistema de base vuit treballaria amb vuit (0,1,2,3,4,5,6,7). El sistema binari, o de base dos, només n'utilitza dos (0 i 1).

[edita] Operacions amb binaris

[edita] Binaris a decimals

Donat un número N, binari, per a expressar-lo en decimal, s'ha d'escriure cada numero que el compon (bit), multiplicat per la base del sistema(base = 2), elevat a la posició que ocupa.

Exemple:

1101₂ = 13₁₀

<=>

1 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 1¹ + 1 * 2⁰

[edita] Decimals a Binaris

Donat un número decimal, per a expressar-lo en binari, s'ha de dividir entre la potència de dos mes pròxima per baix.

Exemple:

25₁₀ =11001₂

25 : 2⁴ = 25 : 16 = 1 residu 9
9 : 2³ = 9 : 8 = 1 residu 1
1 : 2² = 1 : 4 = 0 residu 1
1 : 2¹ = 1 : 2 = 0 residu 1
en sobra 1

[edita] Suma de nombres binaris

Recordem les següents sumes bàsiques:

0+0=0 
0+1=1 
1+1=10

Així, si volem sumar 100110101 més 11010101, tenim:

Operem com en decimal: comencem a sumar des de la dreta, en el nostre exemple, 1+1=10, aleshores escrivim 0 i "en portem" 1. Se suma aquest 1 a la següent columna: 1+0+0=1, i seguim fins acabar totes la columnes (exactament com en el càclcul decimal).

[edita] Multiplicació

Per multiplicar dos nombres en representació binària ho farem de forma similar a com ho fem en representació decimal, tenint en compte que només hi ha dos dígits i que els seus productes són com segueixen:

0×0=0 
0×1=0 
1×0=0 
1×1=1

D'acord amb això, per multiplicar dos nombres A i B considerem productes parcials: per cada digit de B prenem el seu producte amb A i l'escrivim en una nova línia desplaçat cap a l'esquerra de manera que el darrer dígit (el més a la dreta) coincideixi amb aquell que estam considerant de B. La suma de tots aquests productes parcials dóna el resultat final.

Per exemple, per multiplicar els nombres binaris 1100 i 1101 ho farem com segueix. En aquesta multiplicació anomenam A al primer número (1100, que correspon a 12 en decimal) i B al segon (1101, que correspon a 13 en decimal):

             1 1 0 0   (A)
           × 1 1 0 1   (B)
           ---------
             1 1 0 0   ← Correspon a l'1 en el nombre B
   +       0 0 0 0     ← Correspon al 0 en el nombre B
   +     1 1 0 0  
   +   1 1 0 0  
   -----------------
   = 1 0 0 1 1 1 0 0

Això és, 1*2⁷+1*2⁴+1*2³+1*2² = 128+16+8+4=156.

Vegeu també l'Algorisme de multiplicació de Booth.

[edita] Codis binaris

[edita] Binari Natural

S'expressa un valor emprant tants bits com sigui necessaris de dreta a esquerra. És a dir, per representar en número decimal 30 empraríem el 11110, on per a convertir-ho a decimal seria 2⁴*1+2³*1+2²*1+2¹*1+2⁰*0=16+8+4+2=30.

[edita] Binari BCD Nartural

Amb aquest codi expressem cada un dels dígits decimals en binari per separat. Per tant necessitem representar del 0 al 9, i per a fer-ho necessitem 4 bits, doncs 2³ només ens deixa representar 8 valors, de 0 a 7. Així doncs el 10 seria el 0001 0000.

[edita] Complement a 2 (CA2)

Aquest codi és per a representar dígits amb signe, amb l'avantatge de que es guanya la representació d'un número més negatiu. Per a escriure'l la part positiva va precedida d'un 0 i té igual representació que en binari natural. En canvi els nombres negatius es representen fent l'invers del valor en positiu i sumant-hi un 1.

0 1 1 1 - 7
0 1 1 0 - 6
0 1 0 1 - 5
0 1 0 0 - 4
0 0 1 1 - 3
0 0 1 0 - 2
0 0 0 1 - 1
0 0 0 0 - 0
1 1 1 1 - -1
1 1 1 0 - -2
1 1 0 1 - -3
1 1 0 0 - -4
1 0 1 1 - -5
1 0 1 0 - -6
1 0 0 1 - -7
1 0 0 0 - -8

[edita] Modul i Signe

El bit de més pes representa el signe, 0 per a positius i 1 per a negatius, el seu valor es expressat en binari natural per la resta de bits.

[edita] Codi Gray

Aquest codi té la particularitat de ser adjacent, per això s'empra a les taules de veritat. Per a escriure'l es fa mirall de la part de dalt i posem un 0 a la part superior i un 1 a la part inferior, com a bit de més pes.

[edita] Curiositats

Amb els nombres d'una mà, pots contar en binari fins al nombre 31, assignant de manera ordenada un valor (1,2,4,8,16) a cada dit. Naturalment, per això cal ser capaç de plegar i estirar cada dit de manera independent.