Nombre transcendent

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques

Conjunts de nombres

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ Naturals ℕ Negatius Enters ℤ Racionals ℚ Irracionals Reals ℝ Complexos ℂ

Nombres destacables

π ≈ 3,14159265... e ≈ 2,7182818284... Φ ≈ 1,6180339887... i :=

Nombres amb propietats destacables

Primers , Abundants, Amics, Compostos, Defectius, Perfectes, Sociables, Algebraics, Transcendents

Extensions dels nombres complexos

Bicomplexos Hipercomplexos Quaternions Octonions Setenions Super-reals Hiper-reals Sub-reals

Nombres Especials

Nominals Ordinals {1r, 2n, ...} (d'ordre) Cardinals Infinit Nombres infinits Nombres transfinits

Altres nombres importants

Seqüència d'enters Constants matemàtiques Llistat de nombres Nombres grans

Sistemes de numeració

Àrab, Armeni, Àtica (grega), Babilònica, Xinesa, Ciríl·lica, Egípcia, Etrusca, Grega, Hebrea, Índia, Jònica (grega), Japonesa, Jémer, Maia, Romana, Tailandesa Numerals en base constant: Binari (2) Quinari (5) Octal (8) Decimal (10) Duodecimal (12) Hexadecimal (16) Vigesimal (20) Sexagesimal (60)

Un nombre transcendent és aquell (real o complex) que no és arrel de cap polinomi (no nul) amb coeficients enters. Tot nombre transcendent és a més irracional, però la proposició inversa no és certa, no tot irracional és transcendent. Els irracionals que no són transcendents s'anomenen algebraics. L'existència de nombres transcendents es pot provar així : se sap que el conjunt dels nombres algebraics és numerable ; atès que el conjunt dels nombres reals (i a fortiori el dels nombres complexos) no ho és, existeixen nombres transcendents.

El 1844, Joseph Liouville va definir els nombres de Liouville, els primers nombres transcendents coneguts. El 1873 Charles Hermite va demostrar que e és transcendent, i el 1882 Ferdinand von Lindemann, utilitzant un mètode anàleg, va demostrar que π també ho és. En canvi no se sap si e^e és transcendent o simplement irracional. De fet, la prova que π és transcendent demostra la impossibilitat del famós problema de la quadratura del cercle.

La manca d'una regla general per poder determinar si un nombre determinat és o no transcendent és el que dugué David Hilbert a incloure aquest problema dins la seva llista de 23 problemes. Una solució parcial la dóna el teorema de Gelfond, que proporciona una regla general per determinar si en certs casos especials α^β és transcendent: en concret ho és quan α és algebraic (α ≠ 1) i β és irracional i algebraic.

[edita] Alguns nombres transcendents

• e: demostrat per Hermite (1873).
• π: demostrat per Lindemann (1882).
• e^π: demostrat per Gelfond (1934).
• sin 1: demostrat per Hardy i Wright (1979).
• ln 2: demostrat per Hardy i Wright (1979).
• : demostrat per Hardy i Wright (1979).