Problemes de Hilbert
De Viquip??dia
Els problemes de Hilbert s??n un conjunt de 23 problemes matem??tics, originalment sense resoldre, que el matem??tic alemany David Hilbert present?? al Segon Congr??s Internacional de Matem??tics, celebrat a Par??s l'agost de 1900. Alguns dels problemes presentats s??n espec??fics, com la hip??tesi de Riemann, mentre que d'altres s??n molt m??s gen??rics i vagues i es poden considerar m??s aviat l??nies d'investigaci?? que veritables problemes. L'objectiu de Hilbert era oferir unes l??nies de treball per a la recerca en matem??tiques, destacant els camps i els problemes m??s importants. La confer??ncia tingu?? un ress?? extraordinari i les l??nies establertes per Hilbert han guiat la Matem??tica durant bona part del segle XX.
[edita] Els 23 problemes de Hilbert
- Hip??tesi del continu. Hi ha algun nombre cardinal entre el cardinal del conjunt dels nombres naturals
i el cardinal del conjunt dels nombres reals, el continu, 
? El conjunt dels nombres reals ??s ben ordenable? - Consist??ncia dels axiomes de l'aritm??tica. S??n consistents els axiomes de l'aritm??tica? ??s a dir, ??s un sistema formal sense contradiccions internes?
- Congru??ncia i espai euclidi. Pot haver-hi dos tetr??edres que no es puguin descomposar en tetraedres congruents, directament o amb tetraedres congruents adjunts? En altres paraules: donats dos s??lids d'igual volum, es pot "desmuntar" un d'ells en un nombre finit de peces i "enganxar" aquestes peces per formar l'altre?
- Geometria eucl??dia i geometries semblants. Es poden trobar geometries on siguin v??lids quasi tots els axiomes de la geometria eucl??dia, per?? sense el postulat de les paral??leles ni cap d'equivalent i el concepte de dist??ncia sigui menys estricte? ??s a dir, es poden construir m??triques les l??nies de la qual siguin geod??siques?
- Grups de Lie. ??s realment necessari postular la diferenciabilitat de les transformacions en els grups de Lie? N'hi ha prou amb exigir nom??s la seva continu??tat?
- Axiomatitzaci?? de la F??sica. Es pot axiomatitzar tota la F??sica?
- Nombres trascendents. En general, ??s ???? transcendent, essent ?? algebraic i ?? irracional?
- La hip??tesi de Riemann. ??s certa la hip??tesi de Riemann?
- Llei de reciprocitat. Es pot generalitzar la llei de reciprocitat quadr??tica de la teoria de nombres per a pot??ncies arbitr??ries?
- Equacions diof??ntiques. Existeix un algoritme general per a la soluci?? de les equacions diof??ntiques?
- Formes quadr??tiques. Es poden ampliar els resultats obtinguts per a formes quadr??tiques per a un cas arbitrari?
- Camps abelians. Es pot ampliar el teorema de Kronecker-Weber sobre camps abelians a camps algebraics arbitraris?
- Funcions de v??ries variables. Hi ha funcions de tres variables que no es puguin escriure com a funcions de dues variables? M??s concretament, es pot solucionar l'equaci?? general de grau 7 amb funcions de dues variables?
- Teoria d'invariants. ??s finit el sistema d'invariants?
- C??lcul enumeratiu de Schubert. Es pot donar una teoria rigorosa de la geometria enumerativa de Schubert?
- Topologia de corbes i cicles l??mit. Es pot desenvolupar una teoria general de la topologia de corbes i superf??cies algebraiques?
- Funcions positives. ??s possible representar funcions com a suma de quadrats?
- Poliedres congruents. ??s possible omplir diferents tipus d'espais amb poliedres congruents?
- Problema de Dirichlet. Com pot ser que certes equacions en derivades parcials tinguin com a solucions funcions de v??ries variables amb un "millor comportament"?
- Condicions de contorn. Es poden solucionar problemes arbitraris amb condicions de contorn gen??riques?
- Problema de Riemann-Hilbert. Es poden solucionar equacions diferencials donat un cert grup monodr??mic?
- Uniformitzaci??. Es pot parametritzar qualsevol corba algebraica?
- C??lcul variacional. Generalitzaci?? del c??lcul de variacions, nous m??todes.
De tots aquests problemes, segueixen sense tenir resposta definitiva el 8 i el 18, mentre que el 4, l'11 i el 16 tenen respostes parcials. La resta de problemes s'han completat, ja sigui afirmativament o negativament.
[edita] Enlla??os i refer??ncies
- J. Gray, El reto de Hilbert (Cr??tica, Barcelona, 2000). Introducci?? divulgativa als problemes de Hilbert.
- Text original de la confer??ncia de Hilbert. (alemany)
- Text angl??s de la confer??ncia de Hilbert. (angl??s)
