Numero trascendente

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In matematica, un numero trascendente è un numero irrazionale che non è un numero algebrico, ossia non è la soluzione di nessuna equazione polinomiale della forma:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots + a_1 x^1 + a_0 = 0$

dove n ≥ 1 e i coefficienti a_i sono numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non tutti nulli.

L'insieme dei numeri algebrici è numerabile mentre l'insieme di tutti i numeri reali è non numerabile; ciò implica che neanche l'insieme dei numeri trascendenti è numerabile, cioè esistono infinitamente più numeri trascendenti che algebrici. Comunque, sono note soltanto poche classi di numeri algebrici e dimostrare che un dato numero è trascendente può essere molto difficile. Un'altra proprietà di un numero, e cioè la normalità, potrebbe aiutare a determinarne la trascendenza.

L'esistenza dei numeri trascendenti fu dimostrata per la prima volta nel 1844 da Joseph Liouville, che mostrò alcuni esempi, tra cui la costante di Liouville:

$\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0,110001000000000000000001000...$

dove l'n-esima cifra dopo la virgola è uno se n è un fattoriale (ad esempio, 1, 2, 6, 24, 120, 720, ..., etc.) e 0 altrimenti. Il primo numero che si dimostrò essere trascendente senza che fosse stato appositamente costruito per questo fu e, da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von Lindemann pubblicò una dimostrazione, basata sul precedente lavoro di Hermite, della trascendenza di π. Nel 1874, Georg Cantor trovò l'argomentazione scritta sopra per l'esistenza e la non-numerabilità dei numeri trascendenti.

Cantor affermò che i numeri trascendenti sono un Insieme Infinito di livello superiore ( $\aleph_1$ ) a quello degli irrazionali algebrici, un Insieme Infinito, ma meno potente.

Vedi anche il teorema di Lindemann-Weierstrass.

[modifica] Lista di alcuni numeri trascendenti

e^a se a è algebrico e diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente (vedi una dimostrazione della trascendenza di e).

$π$ vedi (Pi greco)

$e π$ in quanto: $e^\pi= \frac{1}{e^{-\pi}}=\frac{1}{i^{2i}}$ e $i 2 i$ è trascendente (vedi sotto)

$i 2 i$ (è trascendente in base al teorema di Gelfond)

$2^{\sqrt2}$ o più generalmente $a b$ dove a ≠ 0,1 è algebrico e b è algebrico ma irrazionale. Il caso generale del settimo problema di Hilbert, cioè di determinare se a^b è trascendente quando a ≠ 0,1 è algebrico e b è irrazionale è tuttora irrisolto.

sin(1)

ln(a) se a è un numero razionale positivo diverso da 1

Γ(1/3) e Γ(1/4) (vedi funzione gamma).

Ω, Costante di Chaitin.

$\sum_{k=0}^\infty 10^{-\lfloor \beta^{k} \rfloor};\qquad \beta > 1\; ,$

dove $\beta\mapsto\lfloor \beta \rfloor$ è la funzione parte intera. Per esempio se β = 2 allora questo numero è 0,11010001000000010000000000000001000...

La scoperta dei numeri trascendenti consentì la dimostrazione d'impossibilità di diversi antichi problemi geometrici riguardanti una costruzione con riga e compasso; il più famoso, la quadratura del cerchio, è impossibile perché π è trascendente, mentre tutti i numeri costruibili con riga e compasso sono algebrici.