Numeració aràbiga

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques

Conjunts de nombres

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ Naturals ℕ Negatius Enters ℤ Racionals ℚ Irracionals Reals ℝ Complexos ℂ

Nombres destacables

π ≈ 3,14159265... e ≈ 2,7182818284... Φ ≈ 1,6180339887... i :=

Nombres amb propietats destacables

Primers , Abundants, Amics, Compostos, Defectius, Perfectes, Sociables, Algebraics, Transcendents

Extensions dels nombres complexos

Bicomplexos Hipercomplexos Quaternions Octonions Setenions Super-reals Hiper-reals Sub-reals

Nombres Especials

Nominals Ordinals {1r, 2n, ...} (d'ordre) Cardinals Infinit Nombres infinits Nombres transfinits

Altres nombres importants

Seqüència d'enters Constants matemàtiques Llistat de nombres Nombres grans

Sistemes de numeració

Àrab, Armeni, Àtica (grega), Babilònica, Xinesa, Ciríl·lica, Egípcia, Etrusca, Grega, Hebrea, Índia, Jònica (grega), Japonesa, Jémer, Maia, Romana, Tailandesa Numerals en base constant: Binari (2) Quinari (5) Octal (8) Decimal (10) Duodecimal (12) Hexadecimal (16) Vigesimal (20) Sexagesimal (60)

La numeració aràbiga és la representació dels nombres més utilitzada avui dia. Hom l'anomena "aràbiga" perquè foren els àrabs els qui la introduiren a Europa, però fou a l'Índia a on s'inventà.

[edita] Concepte

Es tracta d'un sistema de numeració posicional i decimal, és a dir, basat en el nombre 10; consta de 10 nombres per a representar cadascun dels 10 dígits. El valor del dígit varia segons la posició que ocupa dintre del nombre, ja que es multiplica ell mateix per la base 10 elevada a la posició. Així, el primer dígit (començant per la dreta) té el valor que representa el seu símbol multiplicat per 10⁰(=1); el dígit immediatament següent té el valor que representa el seu símbol multiplicat per 10¹(=10); i així successivament. Hom pot definir una fórmula matemàtica per a un nombre de n dígits de la següent manera:

, on x_i és el dígit situat en la posició i (començant per la dreta).

Exemples:

[edita] Variants

El sistema aràbic actual es representa de forma diferent segons el sistema d'escriptura.

Europeu (alfabet llatí, i sistema japonès rōmaji)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Aràbic-Índic (alifat aràbic)	٠	١	٢	٣	٤	٥	٦	٧	٨	٩
Aràbic-Índic Oriental (alifat persa o urdú)	۰	۱	۲	۳	۴	۵	۶	۷	۸	۹
Devanagari (Hindi)	०	१	२	३	४	५	६	७	८	९
Tamil		௧	௨	௩	௪	௫	௬	௭	௮	௯

Dintre del sistema europeu també hi ha petites diferències. Des de temps molt recents, el zero ha passat d'escriure's com un cercle o una el·lipse, "0", a representar-se amb una barra, "Ø" (com una de les lletres daneses), per a diferenciar-lo de la lletra "O". A Europa, el nombre set (7) acostuma a escriure's amb una barra horitzontal per a diferenciar-lo de l'u (1).

[edita] Història

La hipòtesi més acceptada és que la numeració aràbica va tenir el seu origen a l'Índia, entre el 400 aC i el 400 dC. De fet, entre el món islàmic aquests nombres se'ls coneix amb el nom de "nombres indis" (أرقام هندية, arqam hindiiiah). No obstant, també podria ser que hagués nascut a la Xina, donades les grans similituts amb el sistema xinès Hua Ma: també és posicional i de base 10.

Els símbols de l'1 al 9 del sistema Brahmi són un pas intermig cap al sistema aràbic més modern. Els dibuixos vénen del nombre d'angles que té cada xifra en la seva versió inicial.

El sistema apareix descrit en una obra del matemàtic persa Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi, escrita als voltants de l'any 825, i traduïda al segle XII amb el títol Algoritmi de numero Indorum (algoritmi, que esdevingué el terme algoritme, prové del nom de l'esmentat matemàtic "al-Jwarizmi").

Un altre matemàtic, Al-Kindi, va difondre el sistema indi de numeració per l'Orient Mitjà amb els seus quatre volums de Ketab fi Isti'mal al-'Adad al-Hindi (Guia de numeració índia), de l'any 830.

La primera inscripció reconeguda del nombre zero, representat per un punt o una boleta, data del segle IX i es localitza a Gwalior. Un cop adoptat pels àrabs rebé el nom de as-saffr (أَلصِّفْر), d'on va derivar el mot xifra. No obstant, l'existència del zero es remunta a molts segles abans, i sembla que el seu origen també està a l'Índia.

Cap a l'any 952 el sistema aràbic adopta les fraccions, tal com queda palés amb un tractat del matemàtic siri Abu'l-Hasan al-Uqlidisi.

Ja en època de l'Al-Àndalus, el sistema aràbic i l'àbac penetraren a Europa, que feia servir el sistema de numeració romana. La primera menció a Occident apareix al Codex Vigilianus (976). El 984, Gerbert d'Auriac demana a l'astrònom barceloní Sunifred Llobet (lupitus), una traducció d'un tractat d'astronomia en àrab, el Sententiae astrolabii, traducció que va incloure el sistema de numeració.

Anys després, Fibonacci, matemàtic italià que estudià a Bugia (actualment a Algèria), va contribuir a la difusió del sistema per Europa, gràcies a la seva obra Liber Abaci (publicat el 1202). No es fins el segle XV que el seu ús comença a normalitzar-se per tota Europa.