Teoria de conjunts
De Viquipèdia
La teoria de conjunts és la branca de les matemàtiques que estudia els conjunts. El primer estudi formal sobre el tema va ser realitzat pel matemàtic alemany Georg Cantor en el segle XIX.
Taula de continguts |
[edita] Definició de conjunt
Intuïtivament, un conjunt és una agrupació, classe o col·lecció d'objectes, als quals hom anomena elements del conjunt. Així, quan un element a pertany al conjunt S, hom diu que el conjunt S conté l'element a, utilitzant la notació a ∈ S.
El concepte de conjunt és fonamental en matemàtiques perquè es troba, implícitament o explícita, en totes les branques de les matemàtiques pures i aplicades. En la seva forma explícita, els principis i la terminologia dels conjunts s'utilitzen per a construir proposicions matemàtiques més clares i precises i per a explicar conceptes abstractes com ara el concepte d'infinit.
Un conjunt S està definit si, donat un objecte qualsevol a, se sap amb seguretat si pertany o no al conjunt.
[edita] La paradoxa de Russell
Aquesta definició és problemàtica des del punt de vista formal ja que, en definir un conjunt per una propietat, s'arriba a la paradoxa de Russell definint A = {x | x ∉ A} (es llegeix A està format per tots els elements x tals que x no pertany a A). Veiem que, si x pertany a A, s'ha de complir que x no pertany a A: una propietat i la seva negació s'han de complir al mateix temps. Això va portar a considerar desenvolupaments axiomàtics com els de Zermelo-Frankel i Von Neumann que eviten aquesta paradoxa o contradicció de la teoria.
Suposem que hi ha dos tipus de conjunts: els normals, que no es contenen a si mateixos com a element; i els anormals, que es contenen a si mateixos com a element. Per a existir, un conjunt A hauria de ser de només d'un dels dos tipus. Pensem ara en el conjunt V els elements del qual són tots els conjunts normals: el conjunt V és normal o anormal? Si V fóra normal es contindria a si mateix com a element, ja que V està format per tots els conjunts normals, però, en contenir-se a si mateix com a element, seria anormal.
La contradicció és deguda al fet de suposar que la proposició "X és un conjunt i no és element de si mateix" determina un conjunt. Hom pensa llavors en dos tipus de col·leccions:
- Classes
- Aquelles col·leccions d'objectes especificades per una proposició.
- Conjunts
- Aquelles classes que siguen elements d'una altra classe.
Hi ha una distinció entre conjunts i classes, on les classes que no siguin conjunts no poden ser elements d'altres classes. Apareix la teoria axiomàtica de conjunts cercant dos fins: garantir l'existència d'un conjunt i assegurar les construccions amb conjunts que donen com a resultat altres conjunts.
A continuació s'exposa el desenvolupament intuïtiu de la teoria perquè és el més natural per a la majoria de les persones.
[edita] Notació
Un conjunt es representa mitjançant claus que contenen els seus elements, ja siga de forma explícita, escrivint tots i cada un dels elements, o donant una fórmula, regla o proposició que els descriga. Per exemple,
- S1 = {2, 4}
- S2 = {2, 4, 6, ..., 2n, ...} = {tots els sencers parells}
- S3 = {x | x2 − 6x + 11 = 3}.
- S4 = {tots els barons vius cridats Joan}
La definició de S3 es llig "el conjunt de totes les x tals que x2 − 6x + 11 = 3".
[edita] Subconjunts i superconjunts
Si tot element d'un conjunt R pertany també al conjunt S, es diu que R és un subconjunt de S i que S és un superconjunt de R. S'utilitza la notació R ⊆ S. Tot conjunt és un subconjunt i un superconjunt de si mateix.
Si R ⊆ S i almenys un element de S no pertany a R, es diu que R és un subconjunt propi de S i que S és un superconjunt propi de R. S'utilitza la notació R ⊂ S.
Si R ⊆ S i S ⊆ R, és a dir, tot element d'un conjunt pertany també a l'altre, llavors R i S són dos conjunts iguals, la qual cosa s'escriu R = S. En els exemples de l'apartat anterior, S1 = S3.
[edita] Unió i intersecció
Siguen A i B dos conjunts.
Els elements que pertanyen a A, a B o a ambdós formen un altre conjunt S, anomenat unió de A i B, escrit A ∪ B.
Els elements comuns a A i B formen un conjunt denominat intersecció de A i B, escrit A ∩ B.
Si A i B no tenen cap element comú es denominen conjunts disjunts i es representa la seva intersecció com un altre conjunt, denominat conjunt buit o nul, el qual es representa amb el símbol Ø.
Exemples: si tenim els conjunts
- A = {2, 4, 6}
- B = {4, 6, 8, 10}
- C = {10, 14, 16, 26}
Llavors:
- A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10}
- A ∪ C = {2, 4, 6, 10, 14, 16, 26}
- A ∩ B = {4, 6}
- A ∩ C = Ø
[edita] Diferència i complementari
El conjunt d'elements que pertanyen a A però no pertanyen a B es denomina conjunt diferència entre A i B, escrit A – B (i a vegades A \ B).
Seguint amb l'exemple anterior, A – B = {2}, B – A = {8, 10}.
Si A és un subconjunt del conjunt B, el conjunt dels elements que pertanyen a B però no a A, és a dir, B – A, es denomina conjunt complementari de A (respecte a B), la qual cosa s'escriu B – A = AC (que també pot aparèixer com à o ~A).
[edita] Àlgebra de conjunts
Siguen A, B i C conjunts qualssevol, i U un conjunt tal que A ⊆ U, B ⊆ U i C ⊆ U. Aleshores:
-
Element neutre de la unió
Element neutre de la intersecció
Propietat commutativa de la intersecció
Propietat commutativa de la unió
Propietat associativa de la intersecció
Propietat associativa de la unió
Propietat distributiva de la intersecció
Propietat distributiva de la unió
[edita] Distributivitat entre unió i intersecció
Siguen tres conjunts A, B i C. Es compleix que:
Aquestes són les propietats de l'àlgebra de conjunts, la qual és un cas particular del sistema algebraic conegut com a Àlgebra de Boole.
[edita] Producte cartesià de conjunts
Si A i B són dos conjunts, el conjunt de tots els possibles parells ordenats d'elements de la forma (a, b), on a ∈ A i b ∈ B, es denomina producte cartesià de A i B, escrit normalment com A × B.
Exemple: si A = {1, 2} i B = {x, y, z}, llavors
- A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}
- B × A = {(x, 1), (y, 1), (z, 1), (x, 2), (y, 2), (z, 2)}
En aquest cas, A × B ≠ B × A, perquè en ser parells ordenats, el parell (1, x) és diferent del parell (x, 1).
[edita] Correspondència o relacions entre conjunts
Donats dos conjunts A i B, que poden ser iguals o distints, podem trobar diverses formes de relacionar els elements de A amb els elements de B.
Per exemple, els elements del conjunt A = {1, 2, 3} es poden relacionar o fer correspondre mitjançant una correspondència f amb els elements del conjunt B = {x, y, z} de manera que a tot element de A li corresponga un, cap o diversos elements de B. Això també es pot expressar així:
- f(1) = {x, z}, f(2) = Ø , f(3) = {z}
També es pot dir que f = {(1, x), (1, z), (3, z)}.
Per tant, una relació o correspondència entre dos conjunts A i B és un subconjunt del producte cartesià A × B. En general, una relació o correspondència entre un conjunt A i un altre B és qualsevol subconjunt de A × B. Noteu que això inclou el cas del conjunt buit.
Quan tot element de A està relacionat amb algun de B es diu que aquest subconjunt de A × B és una relació o correspondència de A en B.
Quan una correspondència és tal que a cada element del primer conjunt li correspon un i només un del segon conjunt, llavors s'anomena aplicació, funció o mapatge.
