Paradoxa de Russell
De Viquip??dia
La paradoxa de Russell descrita per Bertrand Russell en 1901 demostra que la teoria original de conjunts formulada per Cantor i Frege ??s contradict??ria.
Suposem un conjunt que consta de conceptes que no s??n membres de si mateixos. Un exemple descrit, ??s el conjunt que consta de "idees abstractes" ??s membre de si mateix perqu?? el conjunt ??s ell mateix una idea abstracta, mentre que un conjunt que consta de "llibres" no ??s membre de si mateix perqu?? el conjunt no ??s un llibre. En la seua paradoxa, Russell preguntava (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunt de conceptes que no formen part d'ells mateixos formen part de si mateix. Si no forma part de si mateix, pertanyen al tipus de conjunts que s?? que formen part de si mateixos.
Anomenem M a "el conjunt de tots els conjunts que no es contenen a si mateixos com a membres". Llavors, M ??s un element de M si i nom??s si M no ??s un element de M, la qual cosa ??s absurd.
Un desenvolupament mes formal ??s presenta en Teoria Intu??tiva de Conjunts.
La paradoxa de Russell ha sigut expressada en divers t??rmit mes quotidians, el mes conegut ??s la paradoxa del barber
- ??el barber d'aquesta ciutat, que afaita tots els homes que no s'afaiten a si mateixos, s'afaita a si mateix???
[edita] Explicaci?? de la Paradoxa
Els conjunts s??n reunions de coses, per exemple de cotxes, llibres, persones, etc... i en aquest sentit els anomenarem conjunts normals.
La caracter??stica principal d'un conjunt normal ??s que no ??s contenen a si mateixos.
Per?? tamb?? hi ha conjunts de conjunts, com 2M, que ??s el conjunt de subconjunts de M.
Un conjunt de conjunts ??s normal excepte si podem fer que ??s contingui a si mateix.
Aix?? ??ltim no ??s dif??cil, si tenim el conjunt de tots els coses que NO s??n llibres i com un conjunt no ??s un llibre, el conjunt de totes els coses que NO s??n llibres formar?? part del conjunt de totes les coses que NO s??n llibres.
Aquests conjunts que ??s contenen a si mateixos s'anomenen conjunts singulars.
Est?? clar que un conjunt donat o be ??s normal o be ??s singular, no hi ha terme mitj??. O ??s cont?? a si mateix o no ??s cont??.
Ara prenguem el conjunt C com el conjunt de tots els conjunts normals. Quina classe de conjunt ??s C? Normal o Singular?
Si ??s normal, estar?? dins del conjunt de conjunts normals, que ??s C despr??s ja no pot ser normal.
Si ??s singular, no pot estar dins del conjunt de conjunts normals, despr??s no pot estar en C, per?? si no est?? en C llavors ??s normal.
Qualsevol alternativa ens produeix una contradicci??, aquesta ??s la paradoxa.
