Divisió

De Viquipèdia

Per a altres significats, vegeu «Divisió (desambiguació)».

La divisió, és una operació aritmètica que serveix per expressar matemàticament l'acció de repartir una entitat entre un cert nombre de elements. En general, la divisió es pot considerar la inversa de la multiplicació.

Per expressar una divisió s'utilitzen els dos punts (:), una línia inclinada (/) o el símbol de divisió (÷). També es pot expressar una divisió en forma de nombre racional, és a dir, com a fracció.

Una divisió acostuma a agafar la forma:

$\frac a b = c$

on a és el dividend, b és el divisor i c és el quocient.

La divisió és una operació externa a tots els conjunts de nombres, en tant que la divisió entre zero dona resultat infinit. La divisió entre nombres sencers va donar origen a la idea dels nombres racionals.

[edita] Divisió exacta

S'anomena divisió exacta quan a la divisió:

$\frac a b = c$

tots tres nombres, dividend, divisor i quocient són enters. Això només pot passar si a és múltiple de b, i val exactament c cops b. Quan això no passa, hom diu que a és indivisible per b, llavors caldrà recorrer a la Divisió amb residu o usar nombres racionals o reals.

Quan un nombre és indivisible per tots els nombres naturals menys per ell mateix i 1, es diu que és un nombre primer.

[edita] Divisió entera

Quan la divisió no és exacta i volem seguir utilitzant nombres enters apareix un nombre anomenat residu, que compleix:

residu = dividend - quocient ⋅ divisor

[edita] Divisió real

S'anomena divisió real a la divisió entesa com inversa de la multiplicació de nombres reals. En aquesta divisió tots el nombres poden ser reals (exceptuant que el quocient no pot ser zero). En aquest tipus de divisió no existeix el residu.

[edita] Propietats de la divisió

Uniforme: Si els dos membres d'una igualtat es divideixen entre el mateix nombre, queda una altre igualtat com a resultat.

$a = b\implies \frac a c = \frac b c$

però

${a\over b}={c\over d}\nRightarrow a=c\or b=d$

Monotonia: Si els dos membres d'una desigualtat es divideixen entre un mateix nombre positiu, queda una altre desigualtat del mateix sentit. Si es divideixen entre un mateix nombre negatiu, queda una desigualtat de sentit contrari.

$\mbox{Si }c > 0\mbox{ i }a > b \implies {a \over c} > {b \over c}$

$\mbox{Si }c < 0\mbox{ i }a > b \implies {a \over c} < {b \over c}$

Distributiva: Junt amb la suma, es compleix la següent igualtat:

${\left ( b + c \right ) \over a} = {b \over a} + {c \over a}$

En general:

${\left ( b + c + d + e + ... \right ) \over a} = {b \over a} + {c \over a} + {d \over a} + {e \over a} + ...$

No commutativa: L'ordre de la divisió és important en el resultat:

${a \over b}$ és diferent de ${b \over a}$

Element neutre: L'element neutre de la divisió és l'1, de manera que:

${a \over 1} = a$

Divisió per zero: La divisió per zero és una operació impossible:

$\nexists a,b \in \mathbb R\setminus \{ 0 \} \text{ tal que } a\cdot0=b$ , i per tant, $\forall a\in \mathbb R, {a \over 0}\notin \mathbb R$ .

Com que tot nombre multiplicat per 0 dóna 0, donada b diferent de 0 no existeix cap a que compleixi la divisió b/0. En el cas que a fos 0, es tractaria d'una indeterminació.

[edita] Com realitzar una divisió manualment

Escrivim el dividend i a continuació una barra vertical i el divisor. Exemple:

 24856 | 79

Ara dibuixem una línia horitzontal sota el divisor:

 24856 | 79
       -----------------

A continuació, agafem tants dígits per l’esquerra com xifres tingui el divisor; si el nombre resultant és menor que el divisor, n’agafem un més. En l’exemple, com que el divisor té dues xifres agafem els dos primers dígits per l’esquerra (24), però com que 24<79 n’agafem tres (248). Dividim el nombre resultant entre el divisor i escrivim la part entera d’aquesta divisió sota la barra horitzontal:

 24856 | 79
       -----------------
         3

Ara, multipliquem el resultat obtingut pel divisor, escrivim el producte a sota de les xifres que hem agafat al començament i restem:

 24856 | 79
-237   -----------------
 ---     3
  11

En cap cas aquesta resta pot donar un resultat igual o superior al divisor; si fos així, caldrà augmentar la primera xifra obtinguda (3 en l’exemple) en una unitat fins que la resta sigui inferior al divisor. Seguidament “baixem” una altra xifra del dividend i l’afegim al resultat de la resta anterior. (Si un cop “baixada” la xifra el resultat fos inferior al divisor, escriurem un zero a sota de la barra i “baixarem” una altra xifra.)

 24856 | 79
-237   -----------------
 ---     3
  115

Repetim el procés dividint aquest nou nombre entre el divisor i col·locant-ne el resultat a sota de la barra horitzontal:

 24856 | 79
-237   -----------------
 ---    31
  115

Tornem a repetir el procediment anterior:

 24856 | 79
-237   -----------------
 ---     31
  115
  -79
  ---
   36

“Baixem” una nova xifra i repetim tot el procés fins que no quedin xifres per a “baixar”:

 24856 | 79
-237   -----------------
 ---     314
  115
  -79
  ---
   366
  -316
  ---- 
    50

Per a saber si ho hem fet tot bé, cal comprovar que el cocient obtingut (314 en l’exemple) multiplicat pel divisor (79), més el darrer residu (50) ens dóna el dividend: