Teoria del caos

De Viquip??dia

En matem??tiques i en f??sica, la teoria del caos tracta el comportament de determinats sistemes din??mics no lineals que, sota certes condicions, presenten un fenomen conegut com a ??caos??, que es caracteritza especialment per la sensibilitat a les condicions inicials, ??s a dir, que un petit canvi en les condicions inicials del sistema d??na lloc a una evoluci?? posterior molt diferent. Com a resultat d'aquesta sensibilitat, el comportament del sistema t?? una aparen??a aleat??ria, malgrat que el sistema ??s totalment determinista. Trobem exemples d'aquests sistemes en models atmosf??rics, el sistema solar, models econ??mics i models de creixement de poblaci??. La teoria del caos forma part del camp m??s gen??ric dels sistemes din??mics no lineals.

Cal remarcar que, contr??riament al significat habitual del terme ??caos??, els sistemes ca??tics no presenten gens d'aleatorietat, malgrat que el seu comportament ho sembli. En altres paraules, donades unes condicions inicials determinades, es pot calcular amb el grau de precisi?? que es vulgui l'estat del sistema en qualsevol instant de temps posterior. La caoticitat prov?? del fet que si es canvien lleugerament aquestes condicions inicials el resultat no canviar?? lleugerament (com passaria en un sistema lineal), sin?? que pot ser radicalment diferent.

Taula de continguts 1 Descripci?? de la teoria 1.1 Atractors estranys 1.2 Caos en sistemes conservatius i en sistemes dissipatius 2 Desenvolupament hist??ric 3 Caos i sistemes complexos 4 Vegeu tamb?? 5 Refer??ncies 5.1 Nivell divulgatiu i introductori 5.2 Nivell avan??at 6 Enlla??os externs

[edita] Descripci?? de la teoria

En general, un sistema din??mic no lineal pot exhibir un o m??s dels seg??ents tipus de comportament, en funci?? de l'estat inicial del sistema i dels valors dels seus par??metres, si ??s que en t??: a) sempre en rep??s; b) moviment no limitat, amb poc sentit f??sic; c) moviment peri??dic, com el d'un p??ndol, per exemple; d) moviment quasiperi??dic, com el de sistemes amb dues freq????ncies incommensurables i e) moviment ca??tic. En general, un sistema podr?? exhibir tots els tipus de moviment anteriors i passar?? d'un a l'altre quan es varien un o m??s par??metres, a trav??s del que s'anomenen bifurcacions.

Un sistema din??mic no lineal s'anomena ca??tic si el seu comportament, per a alguns valors dels seus par??metres, presenta les seg??ents caracter??stiques:

• ha de ser sensible a les condicions inicials: aix?? significa que dos punts inicialment propers en aquest sistema es poden moure en traject??ries molt diferents en l'espai de fases. Els sistemes es comporten de forma id??ntica nom??s si les condicions inicials s??n exactament les mateixes.
• ha de presentar la propietat de mescla topol??gica: aix?? significa que el sistema evoluciona de manera que qualsevol traject??ria en una regi?? de l'espai de fases tornar?? a passar per la mateixa regi?? una vegada i una altra. Com l'espai de fases ??s finit aix?? implica que les traject??ries es mesclaran molt unes amb les altres despr??s d'un temps. Aquesta propietat i l'anterior s'han anomenat sovint com la ??recepta per al caos: estirar i doblegar??: la sensibilitat a les condicions inicials separa exponencialment dos punts propers, mentre que la mescla topol??gica els torna a apropar despr??s d'un temps.
• les seves ??rbites peri??diques s??n denses. ??s a dir, que en l'espai de fases entre dues ??rbites peri??diques (corresponents a moviments peri??dics, no ca??tics) sempre es pot trobar una altra ??rbita peri??dica.

[edita] Atractors estranys

Una manera de visualitzar el moviment ca??tic, o qualsevol tipus de moviment, ??s observar la traject??ria del sistema en l'espai de fases. En aquest espai el temps ??s impl??cit i cada eix representa una de les variables o graus de llibertat del sistema. Per exemple, un sistema en rep??s apareixer?? com un punt (les seves variables no canvien en funci?? del temps) i un sistema en moviment peri??dic descriur?? una corba tancada.

La traject??ria en l'espai de fases per a un sistema donat dep??n de l'estat inicial del sistema i dels par??metres, per?? sovint el diagrama de fases revela que el sistema acaba fent el mateix moviment per a tots els estats inicials en una certa regi??, de manera que independentment de les condicions inicials el sistema acaba descrivint la mateixa traject??ria en l'espai de fases. Per exemple en un p??ndol for??at a una determinada freq????ncia, el moviment del p??ndol acabar?? essent sempre el mateix, encara que el deixem anar des de posicions diferents, de manera que la seva traject??ria en l'espai de fases (una corba tancada) ser?? la mateixa per a molts punts inicials diferents. Aquesta traject??ria en l'espai de fases en la qual el sistema acabar?? arribant s'anomena atractor. Un moviment peri??dic, com hem dit, descriu una corba tancada, que s'anomena cicle l??mit; un moviment ca??tic va a parar al que s'anomena atractor estrany.

Per exemple, un model tridimensional simple de convecci?? atmosf??rica, el model de Lorenz, genera en l'espai de fases el fam??s atractor de Lorenz, que ??s potser un dels diagrames de sistemes ca??tics m??s ben coneguts, no nom??s perqu?? fou el primer observat en sistemes dissipatius, sin?? tamb?? un dels m??s complexos i com a tal d??na lloc a una estructura molt interessant, comuna a tots els atractors estranys: s??n figures fractals. El model de Lorenz, amb uns valors determinats dels seus par??metres, nom??s d??na lloc a un atractor en l'espai de fases, de manera que siguin quines siguin les condicions incials el sistema anir?? a parar a aquest atractor. En general, per??, un sistema donat, per a uns valors determinats dels seus par??metres pot tenir diversos atractors (no necess??riament estranys) en el seu espai de fases i segons les condicions inicials el sistema pot acabar en un atractor o un altre.

El teorema de Poincar??-Bendixson demostra que un atractor estrany nom??s pot donar-se en un sistema continu din??mic si t?? tres o mes dimensions (tres o m??s graus de llibertat). No obstant aix??, tal restricci?? no s'aplica als sistemes discrets, que poden exhibir atractors estranys en sistemes de dos dimensions o fins i tot d'una dimensi??.

[edita] Caos en sistemes conservatius i en sistemes dissipatius

La discussi?? anterior s'aplica especialment als sistemes dissipatius, aquells en qu?? l'energia no es conserva. Els sistemes conservatius (o hamiltonians) tamb?? poden presentar caos, tot i que en aquests sistemes no existeixen atractors, i cada punt de condicions inicials d??na lloc a una traject??ria diferent en l'espai de fases. Els sistemes hamiltonians foren precisament els primers que es varen estudiar des del punt de vista dels sistemes din??mics i els primers en qu?? es va observar el caos (amb els treballs d'Henri Poincar??). L'exemple paradigm??tic d'aquests sistemes ??s el moviment planetari.

[edita] Desenvolupament hist??ric

Els inicis de la teoria del caos es situen cap al 1900, en els estudis d'Henri Poincar?? sobre el problema de moviment de tres cossos sotmesos a la seva atracci?? gravitat??ria m??tua, l'anomenat ??problema dels tres cossos??. Poincar?? trob?? que pot haver-hi ??rbites no peri??diques i que nogensmenys no s'apropen o s'allunyen indefinidament d'un punt. G. D. Birkhoff, A. N. Kolmogorov, M. L. Cartwright, J. E. Littlewood i Stephen Smale realitzaren estudis posteriors, m??s centrats en la teoria d'equacions diferencials no lineals, per?? inspirats en problemes f??sics: el problema dels tres cossos en el cas de Birkhoff, la turbul??ncia en el cas de Kolmogorov i q??estions d'enginyeria electr??nica en el cas de Cartwright i Littlewood. Tot i que el caos no s'havia observat en el moviment planetari, s?? s'havia observat turbul??ncia en el moviment dels fluids (que no cal confondre, per??, amb el caos) i oscil??lacions no peri??diques en circuits electr??nics, sense que cap teoria expliqu??s qu?? estava passant.

La teoria del caos avan???? m??s r??pidament a partir de mitjan segle XX, quan es van comen??at a poder utilitzar ordinadors electr??nics. Bona part de la matem??tica del caos implica la repetici?? indefinida de f??rmules matem??tiques simples (evident en el cas dels sistemes discrets; per als sistemes continus, per??, les equacions diferencials sempre es poden integrar finalment per un procediment iteratiu). Aquesta repetici?? indefinida ??s ideal per introduir-la en un ordinador.

Un pioner de la teoria fou Edward Lorenz l'inter??s del qual en el caos s'inici?? accidentalment a trav??s de la seva recerca en predicci?? meteorol??gica. El 1961 Lorenz estava utilitzant un ordinador senzill, un Royal McBee LGP-30, per executar una simulaci?? d'un model simplificat de convecci?? atmosf??rica. Per estalviar temps inici?? una repetici?? d'una llarga simulaci?? no des de les condicions inicials de la primera simulaci??, sin?? a partir d'un punt intermedi calculat amb la primera simulaci??. Sorprenentment el resultat de la repetici?? comen???? a divergir exponencialment respecte a la simulaci?? original. Lorenz dedu?? correctament que la difer??ncia es devia a que en introduir les condicions inicials havia utilitzat nom??s tres xifres decimals en lloc de les 6 utilitzades inicialment per l'ordinador; la petita difer??ncia provoc?? un resultat totalment diferent i fou la primera observaci?? de comportament ca??tic en una simulaci?? matem??tica.

[edita] Caos i sistemes complexos

El descobriment de la din??mica ca??tica ha estat sorprenent i ha canviat les idees establertes sobre el comportament i modelitzaci?? de sistemes. La sensibilitat a les condicions inicials i les evolucions irregulars que presenten els sistemes ca??tics fou el que va dur a considerar el caos determinista de pocs graus de llibertat com un possible cam?? per explicar l'aparici?? de comportaments complexos en diversos sistemes naturals (com la turbul??ncia plenament desenvolupada, l'atmosfera terrestre, la din??mica del cervell o una col??nia de formigues).

Nogensmenys, els comportaments dels sistemes amb comportaments complexos semblen implicar una dimensionalitat m??s alta i la coexist??ncia de diverses escales temporals caracter??stiques (o diverses freq????ncies pr??pies). Els sistemes ca??tics de baixa dimensi?? descriuen moviments en l'espai de fases que es basen en unes poques traject??ries b??siques que, tot i apar??ixer lleugerament diferents cada vegada, segueixen una seq????ncia definida, d'estructura for??a simple i amb molt poques freq????ncies caracter??stiques. El model de R??ssler, per exemple, nom??s presenta una freq????ncia b??sica d'oscil??laci??, tot i ser ca??tic: t?? un per??ode b??sic que es repeteix amb variacions en l'amplitud. ??s clarament irregular i evidentment ca??tic segons la definici?? matem??tica, per?? el seu grau de complexitat ??s baix. En definitiva, la teoria de sistemes din??mics no lineals pot arribar a explicar alguns fen??mens associats a la complexitat, per?? ??s lluny de poder reproduir les caracter??stiques b??siques que s'hi observen; per aix?? han sorgit altres propostes per explicar determinats aspectes de la complexitat, a partir de conceptes b??sics diferents. Es pot citar la teoria de cat??strofes, els aut??mats cel??lulars, les xarxes neuronals i les xarxes de Kaufmann, la criticitat autoorganitzada o els models espaciotemporals.

[edita] Vegeu tamb??

• Sistema din??mic
• Model de R??ssler
• Model de Lorenz
• Model de Lotka-Volterra
• Caos qu??ntic
• Fractal
• Mapa log??stic
• Efecte papallona

[edita] Refer??ncies

[edita] Nivell divulgatiu i introductori

• Figueras, M. et al.: ??Qu?? s??n i qu?? fan els sistemes din??mics??? Revista Catalana de F??sica vol. 2 n??m. 4, 1r semestre de 1998 (Societat Catalana de F??sica, Barcelona).
• Stewart, I.: ??Juega Dios a los dados? (Cr??tica, Barcelona, 1991)
• Gleick, J.: Caos, el nacimiento de una nueva ciencia (Cr??tica, Barcelona, 1990)

[edita] Nivell avan??at

• Wiggins, S.: Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos (Springer-Verlag, Nova York, 1990).
• Hilborn, R. C.: Chaos and Nonlinear Dynamics (Oxford University Press, Nova York, 1994).
• Berg??, P.; Pomeau, Y; Vidal, C.: L'ordre dans le chaos (Hermann, Par??s, 1995).
• Sol??, R.; Manrubia, S.: Orden y caos en sistemas complejos (Edicions UPC, Barcelona, 1996).
• Bascompte, J. et al.: Ordre i caos en ecologia (Edicions UB, Barcelona, 1996)

[edita] Enlla??os externs

• Projecte Lliure d'Investigaci?? en Matem??tica Fractal i Teoria del Caos (castell??)
• Chaos, classical and quantum (angl??s)
• Chaos Theory: A Brief Introduction (angl??s)
• The Chaos Hypertextbook. Introducci?? al caos i els fractals. (angl??s)
• P??ndol ca??tic interactiu, permet canviar par??metres i recollir les dades. (angl??s)

A Wikimedia Commons hi ha contingut multim??dia relatiu a: Teoria del caos