Fractal

De Viquip??dia

Mandelbrot

Fractal de Julia.

Una fractal ??s un objecte matem??tic de gran complexitat definit per algorismes simples.

$Un altre fractal obtingut per recurr??ncia, tamb?? del tipus de Julia.$

Un altre fractal obtingut per recurr??ncia, tamb?? del tipus de Julia.

Les fractals van ser estudiades llargament per Beno??t Mandelbrot i el terme fractal va ser pr??cticament implantat per ell gr??cies al seu llibre Els objectes fractals.

Les fractals neixen de l'intent de trobar una geometria m??s apropiada per descriure els objectes de la natura. En aquesta recerca, Mandelbrot es va trobar una serie d'objectes matem??tics: conjunt de Cantor, triangle de Sierpi??ski, corba de Peano, floc de neu de Koch, etc... que havien estat considerats curiositats dins les matem??tiques, per?? que no havien tingut major inter??s fins el moment que Mandelbrot s'adon?? de qu?? tots tenien aspectes en com??.

La paraula fractal neix a partir d'una adaptaci?? del terme fraccionari. Les fractals tenen com a primera i principal caracter??stica l'aparici?? de dimensions fraccion??ries. Aix?? vol dir que si una l??nia t?? dimensi?? 1, un pla t?? dimensi?? 2, i un volum t?? dimensi?? 3, a les fractals apareixen dimensions que es poden escriure en forma de fracci??. Una dimensi?? 7/4, per exemple, correspon a un cos que es troba a cavall entre una l??nia i un pla.

La possibilitat de tenir dimensions fraccion??ries es pot veure per exemple amb el conjunt de Cantor. El conjunt de Cantor es crea de la seg??ent forma. S'agafa un segment. Es divideix en 3 parts i s'elimina el segment del mig. Es fa el mateix amb els segments que queden i es repeteix el proc??s indefinidament. El conjunt resultant ??s una mena de pols de punts. La seva dimensi?? ??s major de 0, perqu?? t?? varis punts. Tamb?? ??s menor de 1, perqu?? els punts no arriben a formar un l??nia. ??s per tant una dimensi?? entre 0 i 1.

Totes les fractals tenen les seg??ents caracter??stiques:

Tenen dimensi?? fraccion??ria.
Estan detallades en escales infinitament petites, i a vegades infinitament grans.
Tenen autosemblan??a estad??stica. Aix?? vol dir que les diferents escales de detall tenen formes similars. Tamb?? es pot dir que tro??os petits de qualsevol fractal s??n semblants a la fractal sencera.

Les fractals s??n models per descriure la natura, per?? no deixen de ser models matem??tics. Els objectes de la natura que es poden descriure amb fractals, s'anomenen fractals naturals, tot i qu?? no s??n estrictament fractals. Per exemple, fractals naturals, com n??vols, muntanyes, i vasos sanguinis, tenen l??mits inferiors i superiors en detall; no existeix un terme prec??s per a "massa irregular"; existeixen diferents maneres per a definir "dimensi??" amb valors racionals; i no tota fractal ??s definida recursivament.

Les fractals poden ser dividides en tres ??mplies categories:

Pir??mide de Sierpinski

1. Sistema iterat de funcions Aquestes tenen una regla de punt fix geom??tric. Exemples: conjunt de Cantor, triangle de Sierpi??ski, corba de Peano, floc de neu de Koch, corba del drac.

Conjunt de Mandelbrot

2. Les fractals definides per una relaci?? de recurr??ncia en cada punt d'un espai (com el pla complex). Un exemple n'??s el conjunt de Mandelbrot o el conjunt de Julia.

Fractal generat amb una desc??rrega el??ctrica

3. Fractals aleat??ries, generades per processos estoc??stics. Per exemple: Paisatges de fractal. Les fractals estoc??stiques estan relacionades amb la teoria del caos.

Les fractals aleat??ries tenen una gran aplicaci?? pr??ctica, ja que s??n les m??s apropiades per descriure diversos objectes irregulars del m??n real. Exemples en s??n els n??vols, muntanyes, turbul??ncia, costes i arbres.

T??cniques de fractals han estat utilitzades en la compressi?? d'imatges, aix?? com en una varietat de disciplines cient??fiques.