Triangle de Sierpiński
De Viquipèdia
El triangle de Sierpiński és un objecte fractal, que va ser introduït per primera vegada en 1915 pel matemàtic polonès Waclaw Sierpiński. És un dels exemples bàsics de conjunt auto-similar, una de les propietats fonamentals de les fractals. Encara que va ser construït inicialment a partir d'un triangle equilàter, anomenat triangle de Sierpiński canònic, es pot fer la construcció a partir de qualsevol triangle.
Taula de continguts |
[edita] Construcció
Per construir el triangle de Sierpiński es segueix l'algoritme següent:
- A partir d'un triangle, s'uneixen els punts mitjans dels seus costats, dividint el triangle inicial en quatre triangles
- S'elimina el triangle interior
- En cada un dels tres triangles que queden es procedeix a fer el pas 1
El triangle de Sierpiński és el límit de fer el procediment anterior de manera infinita.
Construcció del triangle de Sierpiński: les 5 primeres iteracions.
[edita] Propietats
- El triangle de Sierpiński té una dimensió fractal de
, que es dedueix del fet que de fet és la unió de tres còpies de sí mateix, cada una escalada pel factor 1/2. - L'àrea d'un triangle de Sierpiński és zero (en mesura de Lebesgue). Això es pot veure ja que a cada vegada que iterem, s'elimina un 25% de la iteració anterior, i al límit per tant quedarà una àrea nul·la.
