Triangle de Tartaglia
De Viquipèdia
El triangle de Tartaglia, també anomenat triangle de Pascal, és un esquema matemàtic utilitzat per la potenciació de binomis.
Donat un binomi a+b elevat a n , pel binomi de Newton es dóna la següent relació:
El triangle de Tartaglia, ens permet saber els valors que prenen els factors .
Es comença amb un 1.
1
Després s'escriuen dos 1 a sota.
1 1 1
A les següents files, els números son el resultat de sumar els dos números immediatament superiors. Els números situats als laterals, són sempre 1.
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
En el triangle, podem buscar el coeficient binomial del desenvolupament de (a + b)n de la següent manera.
En el triangle busquem la filera n, començant des del 0. Notem que la filera té n+1 termes. Movent-nos en aquesta filera, el coeficient ci és el terme i-èsim de la filera.
Exemples:
[edita] Propietats
El triangle de Tartaglia té diverses propietats interessants.
- En primer lloc, notem que el resultat de sumar els elements de cada fila dóna una potència de 2:
. Aquest fet és conseqüència immediata del binomi de Newton, ja que:
- Les fileres de cada triangle són simètriques, ja que:
- Si ens quedem tan sols amb els múltiples de dos, el triangle guarda una certa similitud amb el triangle de Sierpinski. Aquesta similitud es veu encara més clara si considerem tan sols els múltiples de tres, de cinc, i en general, dels nombres primers.
- Diagonals:
- Les diagonals externes són sempre uns.
- Una diagonal més interior dóna els nombres naturals (1,2,3,4,5,...)
- La següent diagonal més interior (1,3,6,10,...) són nombres triangulars, és a dir, nombres amb què es poden construir triangles.
- La següent, donaria nombres tetraèdrics (s'hi poden construir quadrats). La següent, nombres pentagonals (pentàgons), ...