Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Coeficient binomial - Viquip??dia

Coeficient binomial

De Viquip??dia

En matem??tiques, concretament en combinat??ria, un coeficient binomial ??s un coeficient de qualsevol dels termes del polinomi que resulta de desenvolupar el binomi de Newton, es a dir el desenvolupament de (x+y)n. Resulta que els coeficient del terme k-??ssim d???aquest polinomi, (si n ??s el grau del polinomi) ??s el nombre de formes en que es poden escollir k objectes entre un conjunt de n sense tenir en compte l???ordre.

[edita] Definici??

Donat un enter no negatiu n i un enter k, el coeficient binomial es defineix com el nombre natural:

{n \choose k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)} {k \cdot (k-1) \cdots 1} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \quad \mbox{si}\ n\geq k\geq 0 \qquad (1)

i

{n \choose k} = 0 \quad \mbox{if } k<0 \mbox{ or } k>n

on n! significa el factorial def n.


Els coeficients binomials s??n els coeficients del desenvolupament del binomi (x + y)n (d???aqu?? els hi ve el nom):

(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} y^k. \qquad (2)


[edita] Interpretaci?? combinat??ria

Des de el punt de vista combinatori el coeficient binomial es pot entendre com el nombre de formes en que es poden escollir k objectes entre un conjunt de n sense tenir en compte l???ordre. Per veure-ho nom??s cal fixar-se que a l???expressi??:

{n \choose k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)}{k \cdot (k-1) \cdots 1},

EL numerador dona el nombre de formes d???escollir k objectes entre un total de n. El primer es pot escollir de n formes en tenir n objectes per agafar, un cop escollit el primer, nom??s en queden n-1, per tant el segon es pot escollir de n-1 formes, com per cada forma d???escollir el primer hi ha n-1 formes d???escollir el segon en total per als dos primers n???hi ha n*(n-1) i aix?? sucessivament fins a k. Per?? en escollir els elements d???aquesta forma s???han considerat diferents les col???leccions triades en diferent ordre. Com que per cada conjunt de k objectes hi ha k! Formes d???ordenar-los, cal dividir aquest numerador entre k! I aix?? s???obt?? la quantitat de conjunts diferents, sense importar l???ordre en que s???han triat.

[edita] Exemple

{7 \choose 3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1)(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{7\cdot 6 \cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1} = 35.