Coeficient binomial
De Viquipèdia
En matemàtiques, concretament en combinatòria, un coeficient binomial és un coeficient de qualsevol dels termes del polinomi que resulta de desenvolupar el binomi de Newton, es a dir el desenvolupament de (x+y)n. Resulta que els coeficient del terme k-èssim d’aquest polinomi, (si n és el grau del polinomi) és el nombre de formes en que es poden escollir k objectes entre un conjunt de n sense tenir en compte l’ordre.
[edita] Definició
Donat un enter no negatiu n i un enter k, el coeficient binomial es defineix com el nombre natural:
i
on n! significa el factorial def n.
Els coeficients binomials són els coeficients del desenvolupament del binomi (x + y)n (d’aquí els hi ve el nom):
[edita] Interpretació combinatòria
Des de el punt de vista combinatori el coeficient binomial es pot entendre com el nombre de formes en que es poden escollir k objectes entre un conjunt de n sense tenir en compte l’ordre. Per veure-ho només cal fixar-se que a l’expressió:
EL numerador dona el nombre de formes d’escollir k objectes entre un total de n. El primer es pot escollir de n formes en tenir n objectes per agafar, un cop escollit el primer, només en queden n-1, per tant el segon es pot escollir de n-1 formes, com per cada forma d’escollir el primer hi ha n-1 formes d’escollir el segon en total per als dos primers n’hi ha n*(n-1) i així sucessivament fins a k. Però en escollir els elements d’aquesta forma s’han considerat diferents les col•leccions triades en diferent ordre. Com que per cada conjunt de k objectes hi ha k! Formes d’ordenar-los, cal dividir aquest numerador entre k! I així s’obté la quantitat de conjunts diferents, sense importar l’ordre en que s’han triat.
