Coeficient binomial
De Viquipèdia
En matemà tiques, concretament en combinatòria, un coeficient binomial és un coeficient de qualsevol dels termes del polinomi que resulta de desenvolupar el binomi de Newton, es a dir el desenvolupament de (x+y)n. Resulta que els coeficient del terme k-èssim d’aquest polinomi, (si n és el grau del polinomi) és el nombre de formes en que es poden escollir k objectes entre un conjunt de n sense tenir en compte l’ordre.
[edita] Definició
Donat un enter no negatiu n i un enter k, el coeficient binomial es defineix com el nombre natural:
i
on n! significa el factorial def n.
Els coeficients binomials són els coeficients del desenvolupament del binomi (x + y)n (d’aquà els hi ve el nom):
[edita] Interpretació combinatòria
Des de el punt de vista combinatori el coeficient binomial es pot entendre com el nombre de formes en que es poden escollir k objectes entre un conjunt de n sense tenir en compte l’ordre. Per veure-ho només cal fixar-se que a l’expressió:
EL numerador dona el nombre de formes d’escollir k objectes entre un total de n. El primer es pot escollir de n formes en tenir n objectes per agafar, un cop escollit el primer, només en queden n-1, per tant el segon es pot escollir de n-1 formes, com per cada forma d’escollir el primer hi ha n-1 formes d’escollir el segon en total per als dos primers n’hi ha n*(n-1) i aixà sucessivament fins a k. Però en escollir els elements d’aquesta forma s’han considerat diferents les col•leccions triades en diferent ordre. Com que per cada conjunt de k objectes hi ha k! Formes d’ordenar-los, cal dividir aquest numerador entre k! I aixà s’obté la quantitat de conjunts diferents, sense importar l’ordre en que s’han triat.
