Floc de neu de Koch

De Viquipèdia

Floc de neu de Koch

El floc de neu de Koch (també anomenat estrella de Koch) és un conjunt geomètric i una de les primeres corbes fractals que es varen descriure. Va aparèixer per primera vegada a 1904 a l'article titulat "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire" del matemàtic suec Helge von Koch. La construcció d'aquesta corba és un procés iteratiu que comença amb un triangle equilàter, i en el que a cadascun dels costats es construeix una corba de Koch. La corba de Koch és un cas especial de la corba de de Rham.

[edita] Construcció

Per construir una corba de Koch es segueix un procés iteratiu, començant des d'un segment de línia recta, de la manera següent:

Es divideix el segment en tres parts de longitud igual
Es construeix un triangle equilàter amb base el segment del mig del pas anterior
S'elimina el segment base del triangle del pas anterior
Es torna al pas 1, aplicant ara els passos a cada un dels segments que sorgeixen

La corba de Koch és el límit de seguir el procediment anterior infinitament.

**Construcció de la corba de Koch**
1a iteració	2a iteració	3a iteració

4a iteració	5a iteració	6a iteració

[edita] Propietats

La corba de Koch té una longitud infinita, perquè a cada pas hi ha quatre vegades més segments que a l'anterior, i la longitud de cada un d'ells és una tercera part del segment anterior. Llavors la longitud total creix 1/3 i la longitud de la corba construida al pas n serà $\left(\frac{4}{3}\right)^n$ , que al límit serà una longitud infinita.
La dimensió fractal és $\frac{\log 4}{\log 3}\approx 1,26$ , major que la dimensió d'una recta (1) i menor que la dimensió de la corba de Peano, que omple el pla (2).
La corba de Koch és contínua, però no és derivable a cap punt.
L'àrea del floc de neu de Koch és 8/5 del triangle inicial, i per tant un perímetre infinit engloba una àrea finita.