Conjunt de Mandelbrot

De Viquipèdia

El conjunt de Mandelbrot.

$La naturalesa fractal del conjunt de Mandelbrot es manifesta en ser ampliat indefinidament.$

La naturalesa fractal del conjunt de Mandelbrot es manifesta en ser ampliat indefinidament.

En matemàtiques, es defineix el conjunt de Mandelbrot $M$ com el lloc geomètric de connexitat de la família uniparamètrica de polinomis quadràtics

$\{f_c\colon\mathbb C\,\to\,\mathbb C\,\,|\,\,f_c(z)\,:=\,z^2+c\}_{c\,\in\,\mathbb C}$ .

És a dir, $M$ és el subconjunt de punts $c$ del pla complex per als quals el conjunt de Julia de $f c$ és connex.

És sabut que el conjunt de Julia d'un polinomi és connex si, i només si, tots els seus punts crítics tenen òrbita fitada. Així, una manera equivalent de definir el conjunt de Mandelbrot és com el conjunt de paràmetres $c\,\in\,\mathbb C$ tals que l'origen $0$ no tendeix a infinit sota la iteració de $f c$ :

$M\,:=\,\{c\,\in\,\mathbb C\,\,|\,\,f_c^n(0)\,\nrightarrow\,\infty$ quan $n\,\to\,\infty\}$ .

Més enllà del seu interès matemàtic, aquest i d'altres conjunts derivats de l'estudi de sistemes dinàmics en variable complexa han esdevingut populars—per raons estètiques—gràcies al boom fractal ocorregut durant els darrers vint anys, ja que els ordinadors permeten dibuixar estructures (fractals) complicadíssimes a partir d'una senzilla fórmula matemàtica. En aquest sentit, cal esmentar els esforços de Benoît Mandebrot, entre d'altres, per fer conèixer aquest camp de les matemàtiques al gran públic.

[edita] Història

El conjunt de Mandelbrot és avui dia un dels principals objectes d'estudi de la dinàmica complexa. Aquesta branca de les matemàtiques neix cap a finals del segle XIX amb els articles d'Ernst Schröder i Arthur Cayley sobre el mètode de Newton i d'altres algoritmes per trobar arrels de funcions (complexes), encara que no és fins al tombant de segle que Pierre Fatou i Gaston Julia impulsaran considerablement el camp amb estudis de funcions més generals.

La primera aproximació al Conjunt de Mandelbrot de Brooks i Matelski.

Les primeres imatges de $M$ daten del 1978 i aparegueren en un article de Robert Brooks i Peter Matelski sobre grups de Klein [BM]. Posteriorment, Mandelbrot estudià l'espai de paràmetres de la família de funcions logístiques $\{\lambda z(1-z)\}_{\lambda\in\mathbb C}$ en el seu article de 1980 [Ma]. No fou fins el 1982, no obstant, que els matemàtics Adrien Douady i John H. Hubbard començaren un estudi matemàtic rigorós del conjunt de Mandelbrot, tot establint-ne moltes de les propietats fonamentals que es coneixen actualment. Aquest estudi fou recollit en el que es coneix popularment com les Orsay Notes [DH], una de les obres cabdals del tàndem Douady-Hubbard, que paradoxalment no es va arribar a publicar mai. També foren ells que per primera vegada utilitzaren la forma canònica $z 2 + c$ i que anomenaren el conjunt en honor a Mandelbrot, en desconèixer l'article de Brooks i Matelski.

El treball de Douady i Hubbard coincidí amb un gran creixement de l'interès per la dinàmica complexa, i l'estudi del conjunt de Mandelbrot ha estat des d'aleshores un dels objectes principals d'aquest camp. Seria fútil intentar fer una llista de tots els matemàtics que han contribuït al coneixement d'aquest conjunt, però tal llista inclouria sens dubte Mikhail Lyubich, Curt McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura i Jean-Christophe Yoccoz.

[edita] Referències (en anglès)

[BM]: Robert Brooks, Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), en "Riemann Surfaces and Related Topics", ed. Kra i Maskit, Ann. Math. Stud. 97, 65–71 ISBN 0691082642
[CG]: Lennart Carleson, Theodore W. Gamelin, Complex Dynamics, Springer 1993, ISBN 0387979425
[DH]: Adrien Douady, John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
[Ma]: Benoit Mandelbrot, Fractal aspects of the iteration of $z\mapsto\lambda z(1-z)\,$ for complex $\lambda,z\,$ , Annals NY Acad. Sci. 357, 249/259.
[Mi]: John W. Milnor, Dynamics in One Complex Variable (Tercera edició), Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press 2006, ISBN 0-691-12488-4 (Primera aparició el 1990 com a Stony Brook IMS Preprint, disponible a arXiV:math.DS/9201272.)
[S]: Mitsuhiro Shishikura, The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets, Ann. of Math. 147 (1998) p. 225-267. (Primera aparició el 1991 com a Stony Brook IMS Preprint, disponible a arXiv:math.DS/9201282.)