Subconjunt

De Viquip??dia

Exemple gr??fic, A???B.

Un subconjunt ??s un conjunt format per elements d'una altre conjunt. Es diu que el primer conjunt ??s subconjunt del segon conjunt.

Per exemple:

A={1,2,3} i B={1,2,3,4,7}. Podem dir que A ??s un subconjunt de B perqu?? tots els elements de A tamb?? pertanyen a B.

La relaci?? entre un subconjunt i un conjunt s'anomena inclusi?? i es representa pel s??mbol ??? ( $\subset$ ) o en l'ordre invers ??? ( $\supset$ ).

Per exemple, en el cas anterior podem escriure $A \subset B$ o B ??? A.

Tot conjunt A ??s subconjunt d'ell mateix. Aix??, tot aquell subconjunt d' A que no sigui igual a A s'anomena subconjunt propi d'A.

Taula de continguts

1 Diferents notacions
2 Nombre de subconjunts que pot tenir un conjunt
3 Subconjunts disjunts
4 Conjunts complementaris

[edita] Diferents notacions

Actualment s'utilitzen fonamentalment dos sistemes diferents de notaci?? pels subconjunts. El sistema cl??ssic utilitza "???" per a qualsevol subconjunt i "???" ( $\subsetneq$ ) per a subconjunts propis. Per altra banda, el sistema modern vol equiparar els s??mbols als de les desigualtats i utilitza "???" per a qualsevol subconjunt i "???" per als subconjunts propis. Finalment, hi ha una tercera corrent de matem??tics que utilitzen "???" per a subconjunts qualsevol i "???" per als propis per eliminar qualsevol tipus d'ambig??itat.

[edita] Nombre de subconjunts que pot tenir un conjunt

Un subconjunt pot tenir nom??s una part dels elements de l'altre conjunt, tenir-los tots, o no tenir-ne cap (en aquest cas seria un conjunt buit). Per saber quants subconjunts podem tenir a partir d'un conjunt, s'utilitza l'expressi??: 2ⁿ, on n ??s el nombre d'elements del conjunt.

Donat A={1,2,3,4}, tenim els subconjunts:

{1,2,3,4}

{1,2,3} {1,2,4} {1,3,4} {2,3,4}

{1,2} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4}

{1} {2} {3} {4}

???

En total, 2⁴=16 subconjunts.

Donat un conjunt A, el conjunt que t?? per elements tots els subconjunts d' A s'anomena conjunt de les parts d'A i es representa per $\mathcal{P} (A)$ .

Per exemple:

Si A={1,2}, llavors $\mathcal{P} (A) = \{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$ .

$\mathcal{P} (A)$ t??, en efecte, $22 = 4$ elements.

[edita] Subconjunts disjunts

Dos subconjunts d'un mateix conjunt que no tenen cap element en com?? s'anomenen subconjunts disjunts.

Per exemple:

Si A={q,w,e,r,t,p,o,i,u,y}, B={q,w,e,r} i C={p,o,i,u}, podem dir que B i C s??n dos subconjunts disjunts de A.

[edita] Conjunts complementaris

Quan la uni?? de dos subconjunts disjunts cont?? tots els elements del conjunt, es diu que s??n dos conjunts complementaris. Es pot expressar escrivint una C com a super??ndex del conjunt.

Per exemple:

Si A={q,w,e,r,t,p,o,i,u,y}, B={q,w,e,r,t} i C={p,o,i,u,y}, llavors ??s clar que B i C s??n disjunts i que la seva uni?? ??s exactament A; per tant, podem dir que C ??s el complementari de B (respecte del conjunt A): C=B^C.