Conjunt de les parts

De Viquipèdia

Donat un conjunt S, es defineix el conjunt de les parts de S o conjunt potència de S, escrit $\mathcal{P}(S)$ , P(S) o 2^S, com el conjunt de tots els subconjunts de S. Per exemple, si S és el conjunt {a, b, c} aleshores la llista completa de subconjunts de S és:

{ } (conjunt buit)
{a}
{b}
{c}
{a,b}
{a,c}
{b,c}
{a,b,c}

Per tant, el conjunt de les parts de S serà:

$\mathcal{P}(S) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}$

Si S és un conjunt finit amb |S| = n elements, aleshores el conjunt de les parts de S conté $|\mathcal{P}(S)| = 2^n$ elements.

[edita] La notació 2^S

En la teoria de conjunts, X^Y és el conjunt de totes les funcions de Y a X. Com 2 pot ser definit com a {0, 1} (vegeu nombre natural), 2^S és el conjunt de totes les funcions de S a {0, 1}. Cada funció en 2^S està en correspondència bijectiva amb un subconjunt de S (la antiimatge de 1) i per tant els dos conjunts 2^S i $\mathcal{P}(S)$ són equipotents.

Aquest article sobre matemàtiques és un esborrany i possiblement li calgui una expansió substancial o una bona reestructuració del seu contingut. Per això, podeu ajudar la Viquipèdia expandint-lo i millorant la seva qualitat traduint d'altres Viquipèdies, posant textos amb el permís de l'autor o extraient-ne informació.