Vector (Matemàtiques)

De Viquipèdia

Vector s'anomena en matemàtiques a una, dues, tres, ... n components referides a un sistema de referència de la mateixa dimensió i on cada component del vector indica l'increment en la coordenada del sistema a la que fa referència.

Més generalment, un vector és un element d'un espai vectorial.

També el podem definir com la variació del lloc. És la unica ferramenta que ens permet passar d'un punt a un altre. És una variació de coordenades.

Visualment i sobretot en geometria plana, podem dir que és un segment orientat, que té una direcció (inclinació del segment respecte un o més eixos de coordenades), un sentit (indicat per la punta de fletxa) i un mòdul (llargada del segment, mesurant des de la punta fins al punt d'aplicació, que està a l'altra banda)

[edita] Representació dels vectors

Els vectors se solen representar en negreta (v), mitjançant una fletxa a sobre d'aquest ( $\vec v$ ), amb una titlla ( $\tilde v$ ) o bé, generalment quan s'escriuen a mà, subratllats (v). També si el context ho fa evident es pot obviar aquesta notació quan s'escriu a mà i escriure'l senzillament amb una sola lletra ( $v$ ). Mentre que en el camp de les matemàtiques se sol optar per aquesta darrera possibilitat, en la física se sol usar l'opció de la fletxa a sobre, però, en general, aquest ús varia en funció de factors diversos. En aquest article s'acostumarà a donar preferència a la primera forma esmentada.

En gràfics i diagrames, els vectors del pla o de l'espai es solen representar com a fletxes, com podeu veure en aquest exemple:

Fletxa de vector del punt A al punt B.

On A és l'origen del vector i B el seu final. Aquest vector també es podria escriure $\overrightarrow{AB}$ o AB.

En diagrames de dues dimensions, sovint es necessita representar vectors perpendiculars al pla del diagrama. En aquests casos, i per diferenciar els dos sentits possibles s'usa una notació de punts o creus. S'utilitza el símbol de la creu (⊗) per a indicar vectors que entren al pla de projecció del diagrama en el sentit contrari a l'observador. Per als vectors que surten del pla de projecció en direcció a l'observador s'utilitza un punt (⊙).

Vector que entra al pla (esquerra) i vector que surt del pla (dreta).

En un espai euclidià d'n dimensions, els vectors poden ésser representats com a combinació lineal d'n vectors unitaris. Per exemple, a $\mathbb{R}^3$ , s'acostumen a anomenar els vectors unitaris paral·lels als eixos x, y i z com a i, j i k respectivament. Qualsevol vector $\bold a \in \mathbb{R}^3$ pot ser escrit com a $\bold a = a_1\bold i+a_2\bold j+a_3\bold k$ , on aquests tres nombres reals a₁, a₂ i a₃ deixen unívocament definit el vector. A vegades i per a simplificar la notació, el vector a s'escriu com a $\bold a = (a_1,a_2,a_3)$ o bé amb les matrius

$\bold a = \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{bmatrix}$

$\bold a = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ \end{pmatrix}$

tot i que aquesta notació no indica la dependència de les coordenades a₁, a₂ i a₃ respecte a l'específic sistema de referència format per i, j, k.

[edita] Els vectors en la geometria plana

Els vectors en geometria plana es poden sumar (i per tant restar) sumant-ne (o restant-ne) elscomponents que els formen.

V=(v₁, v₂)

U=(u₁,u₂)

V+U=( v₁+ u₁, v₂+u₂)=W

On W és el vector resultant

El mòdul (llargada del segment del mòdul en les unitats dels eixos de coordenades) s'aconsegueix fent un teorema de pitàgores a les seves components. El mòdul d'un vector v és |v|

V=(v₁, v₂)

$|V| = \sqrt {v{{sub|1}}^2 + v{{sub|2}}^2} \,$