Producte escalar
De Viquipèdia
En matemàtiques el producte escalar és una operació entre dos vectors de nombres reals en Rn que retorna un escalar definit en R (conjunt dels nombres reals).
Taula de continguts |
[edita] Definició del producte escalar
El producte escalar de dos vectors i
pertanyents a Rn és un escalar en R definit com:
On θ és l'angle entre els dos vectors i i
són els mòduls dels vectors.
La notació habitual es el punt per distingir-lo de l'aspa o el circumflex que s'usen pel producte vectorial de dos vectors.
En el cas que els vectors estiguin expressats com a coordenades en una base ortonormal aixó és, ortogonal i unitària (és a dir, base amb vectors de mòdul = 1 i que són perpendiculars entres si), el producte escalar també pot calcular-se a partir de dites coordenades com:
Per exemple, el producte escalar de dos vectors en R3 [1, 4, -3] i [2, −1, -2] és:
Usant el producte matricial i tractant els vectors columna com matrius n×1, el producte escalar es pot escriure com:
on AT denota la transposta de la matriu A.
Usant l'exemple anterior, això resultaria en una matriu 1×3 (vector fila) multiplicat per un vector 3×1 (que com a multiplicació de matrius resultaria en una matriu 1×1, és a dir un escalar):
[edita] Interpretació geomètrica
A l'espai euclidià hi ha una forta relació entre el producte escalar les longituds dels vectors i l'angle que formen.
De l'equació abans esmentada:
S'en deriva que l'angle entre els dos vectors és:
Com cos 90º = 0, si els vectors són ortogonals, el seu producte escalar és nul.
El mòdul d'un vector es pot trobar com:
El mòdul correspon a la longitud del vector.
Com és la projecció escalar del vector
sobre el vector
, el producte escalar es pot entendre com el producte d'aquesta projecció per la longitud de
.
[edita] Propietats del producte escalar
Conmutativa:
Asociativa:
La propietat associativa no té sentit pel producte escalar perquè l'operació és indefinida doncs
és un escalar.
Malgrat tot, el producte escalar té la següent propietat:
Essent m un escalar.
El producte escalar és invariant a rotacions dels vectors.
[edita] Enllaços externs
[1] mathworld.wolfram.com/DotProduct.html (en anglès)
[edita] Vegeu també
![]() |
Portal: Matemàtica
Articles relacionats amb Matemàtica |
- Espai vectorial
- Combinació lineal
- Sistema generador
- Independència lineal
- Base (àlgebra)
- Base Ortogonal
- Base Ortonormal
- Coordenades cartesianes
- Producte vectorial
- Producte mixt
- Producte tensorial