Producte escalar

De Viquipèdia

En matemàtiques el producte escalar és una operació entre dos vectors de nombres reals en $R n$ que retorna un escalar definit en R (conjunt dels nombres reals).

Taula de continguts

1 Definició del producte escalar
2 Interpretació geomètrica
3 Propietats del producte escalar
4 Enllaços externs
5 Vegeu també

[edita] Definició del producte escalar

θ és l'angle entre els dos vectors

El producte escalar de dos vectors $\vec{A}$ i $\vec{B}$ pertanyents a $R n$ és un escalar en R definit com:

$\vec{A} \cdot \vec{B}=|\vec{A}| |\vec{B}| cos \theta$

On θ és l'angle entre els dos vectors i $|\vec{A}|$ i $|\vec{B}|$ són els mòduls dels vectors.

La notació habitual es el punt $\cdot$ per distingir-lo de l'aspa o el circumflex que s'usen pel producte vectorial de dos vectors.

En el cas que els vectors estiguin expressats com a coordenades en una base ortonormal aixó és, ortogonal i unitària (és a dir, base amb vectors de mòdul = 1 i que són perpendiculars entres si), el producte escalar també pot calcular-se a partir de dites coordenades com:

$\vec{A} \cdot \vec{B}=[a_1, a_2, a_3] \cdot [b_1,b_2,b_3]=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

Per exemple, el producte escalar de dos vectors en $R 3$ [1, 4, -3] i [2, −1, -2] és:

$\begin{bmatrix}1&4&-3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}2&-1&-2\end{bmatrix} = (1)(2) + (4)(-1) + (-3)(-2) = 4.$

Usant el producte matricial i tractant els vectors columna com matrius n×1, el producte escalar es pot escriure com:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{A}^T \mathbf{B} \,$

on A^T denota la transposta de la matriu A.

Usant l'exemple anterior, això resultaria en una matriu 1×3 (vector fila) multiplicat per un vector 3×1 (que com a multiplicació de matrius resultaria en una matriu 1×1, és a dir un escalar):

$\begin{bmatrix} 1&4&-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\-1\\-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix}.$

[edita] Interpretació geomètrica

||•cos(θ) és la projecció escalar de sobre

| $\vec{A}$ |•cos(θ) és la projecció escalar de $\vec{A}$ sobre $\vec{B}$

A l'espai euclidià hi ha una forta relació entre el producte escalar les longituds dels vectors i l'angle que formen.

De l'equació abans esmentada:

$\vec{A} \cdot \vec{B}=|\vec{A}| |\vec{B}| cos \theta$

S'en deriva que l'angle entre els dos vectors és:

$\theta = \arccos \left( \frac {\vec{A} \cdot \vec{B}} {|\vec{A}| * |\vec{B}|}\right)$

Com cos 90º = 0, si els vectors són ortogonals, el seu producte escalar és nul.

El mòdul d'un vector es pot trobar com:

$|\vec{A}| = \sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A} }$

El mòdul correspon a la longitud del vector.

Com $|\vec{A}| cos \theta$ és la projecció escalar del vector $\vec{A}$ sobre el vector $\vec{B}$ , el producte escalar es pot entendre com el producte d'aquesta projecció per la longitud de $\vec{B}$ .

[edita] Propietats del producte escalar

Conmutativa:

$\vec{A} \cdot \vec{B}=\vec{B} \cdot \vec{A}$

Distributiva:

$\vec{A}\cdot(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\vec{C}$

Asociativa:

La propietat associativa no té sentit pel producte escalar perquè l'operació $(\vec{A} \cdot \vec{B})\cdot \vec{C}$ és indefinida doncs $(\vec{A} \cdot \vec{B})$ és un escalar.