Anell (matemàtiques)
De Viquipèdia
Un anell és una estructura algebraica formada per un conjunt A d'elements on hi ha definides dues operacions binàries, que anomenarem suma (+) i producte (·) −tot i que no són necessàriament la suma i el producte de nombres reals habituals− i que compleixen les següents propietats:
- (A,+) és un grup commutatiu, és a dir:
-
- a+(b+c) = (a+b)+c per a tots els elements de A (associativitat).
- Existeix un element, 0, tal que 0+a = a+0 = a per a tot a de A (element neutre).
- Tot element a de A té un invers, −a, de manera que a+(−a) = (−a)+a = 0 (element invers).
- a+b = b+a per a tots els elements de A (commutativitat).
- (A,·) verifica que
-
- a·(b·c) = (a·b)·c per a tots els elements de A (associativitat).
- a·(b+c) = a·b+a·c i (b+c)·a = b·a+c·a per a tots els elements de A (propietat distributiva respecte a la suma).
Fixem-nos que la commutativitat del producte (a·b = b·a) no és una condició dels anells. Els anells que ho compleixen són els anells commutatius. Fixem-nos també que l'element invers està definit per a la suma, però no per al producte; en el cas que es pugui definir també un invers per al producte l'anell s'anomena cos.
El conjunt dels nombres enters és un anell commutatiu, així com els nombres racionals, els reals i els complexos; aquests tres últims són, a més a més, cossos.
