Anello (algebra)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica un anello è una struttura algebrica composta da un insieme A su cui sono definite due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto e indicate rispettivamente con $+$ e $\cdot$ , che godono di proprietà simili a quelle verificate dai numeri interi.

Indice

1 Definizione formale
2 Esempi
3 Ulteriori definizioni
- 3.1 Elementi invertibili
4 Teoremi di base
5 Costruire anelli a partire da altri anelli
6 Voci correlate

[modifica] Definizione formale

L'insieme A, dotato di due operazioni binarie + e ·, è un anello se valgono i seguenti assiomi:

(A, +) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0:

(a + b) + c = a + (b + c)
a + b = b + a
0 + a = a + 0 = a
∀a ∃(−a) tale che a + −a = −a + a = 0

(A, ·) è un semigruppo:

(a·b)·c = a·(b·c)

La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:

a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
(a + b)·c = (a·c) + (b·c)
1·a = a·1 = a

(le relazioni devono valere per ogni a, b e c in A)

Come per i numeri, il simbolo · per la moltiplicazione è spesso omesso. Notiamo che, a differenza dell'addizione, la moltiplicazione può non essere commutativa: quando lo è A è un anello commutativo. Analogamente, l'esistenza di un inverso è garantita solo per la somma.

L'anello è unitario oppure con unità se ha un elemento neutro "1" per il prodotto, cioè se (A, ·) è un monoide. Poiché gli anelli più studiati sono in gran parte unitari, alcuni autori chiamano semplicemente "anello" un anello unitario.

[modifica] Esempi

[modifica] Gli interi

L'esempio storico della struttura di anello è l'insieme Z dei numeri interi, dotato delle usuali operazioni di somma e prodotto. Tale anello è commutativo.

[modifica] Campi e corpi

Un corpo è un anello con unità i cui elementi non nulli hanno inverso moltiplicativo. Un campo è anello commutativo con unità i cui elementi non nulli hanno inverso moltiplicativo, ossia sono invertibili rispetto all'operazione di moltiplicazione; ad esempio, i campi Q, R, C rispettivamente dei numeri razionali, reali e numeri complessi sono anelli commutativi. Notiamo che Z non è un campo.

L'esempio più importante di corpo che non è un campo è il corpo dei quaternioni. È definito come lo spazio vettoriale reale di dimensione 4 con base 1,i,j,k, e da particolari leggi di moltiplicazione fra questi simboli.

[modifica] Polinomi

L'insieme A[x] dei polinomi con variabile x e coefficienti in un anello A formano un anello con le usuali operazioni di somma e prodotto fra polinomi.

[modifica] Matrici

Le matrici n x n a valori in un anello A formano un altro anello M(n, A) con le operazioni di somma e prodotto fra matrici. Generalmente questo anello non è commutativo. Ad esempio, in M(2, R) vale la relazione:

$\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1\\ \end{bmatrix}.$

[modifica] Funzioni

L'insieme F(X, A) delle funzioni da un insieme qualsiasi X ad un anello A formano un altro anello con le usuali operazioni di somma e prodotto fra funzioni, definite nel modo seguente:

$(f+g)(x) = f(x) + g(x), \quad (f\cdot g)(x) = f(x)\cdot g(x)$

[modifica] Anelli finiti

Ogni gruppo ciclico è in realtà un anello commutativo. Si tratta di un anello con un numero finito di elementi.

[modifica] Sottoanelli

Un sottoanello di un anello $A$ è un sottogruppo $S$ di ( $A$ , +) che sia chiuso rispetto al prodotto. In altre parole, $S$ è un sottoinsieme non vuoto di $A$ , e se $a$ e $b$ sono in $S$ allora anche $a - b$ e $a b$ sono in $S$ . Poiché gli assiomi elencati sopra continuano a valere per $S$ , anche $S$ è un anello rispetto alle operazioni + e · di $A$ . In questo modo costruiamo facilmente altri esempi:

I numeri interi divisibili per n sono un sottoanello di Z.
I numeri razionali con denominatore dispari sono un sottoanello di Q.
L'insieme di tutti i numeri reali della forma a + b√2 con a e b interi è un sottoanello di R.
Gli interi gaussiani a + bi in C, dove a e b sono interi, sono un sottoanello di C.
I polinomi in A[x] del tipo p(x) = a₀ + a₁x² + a₂x⁴ + ... + a_nx²ⁿ sono un sottoanello di A[x].
L'insieme delle frazioni diadiche costituisce un sottoanello dei numeri razionali.

[modifica] Strutture che non sono anelli

I numeri naturali con le usuali operazioni di somma e prodotto non formano un anello, perché non sono un gruppo.

[modifica] Ulteriori definizioni

[modifica] Elementi invertibili

Un elemento $a$ di un anello $A$ con unità è invertibile se esiste un $b$ tale che $a b = b a = 1$ .

Gli elementi invertibili di un anello sono spesso chiamati unità. Normalmente è il contesto che chiarisce se si parla di unità intesa come l'elemento neutro moltiplicativo, o di unità intesa come elemento invertibile.

L'insieme degli elementi invertibili in $A$ è generalmente descritto come $A *$ . L'insieme $A *$ forma un gruppo con l'operazione prodotto, chiamato gruppo moltiplicativo di $A$ .

Ad esempio, nei numeri interi il gruppo moltiplicativo è dato dai due elementi ${ - 1,1}$ .

[modifica] Teoremi di base

A partire dagli assiomi, si può dedurre immediatamente che per ogni a e b in un anello A:

0a = a0 = 0
(−1)a = −a
(−a)b = a(−b) = −(ab)
(ab)⁻¹ = b⁻¹ a⁻¹ se a e b hanno inversi rispetto al prodotto.
L'identità per il prodotto 1 è unica
Se 0 = 1 allora l'anello è formato da un solo elemento
Il teorema del binomio $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k}$ vale in un anello per ogni coppia di elementi x e y che commutano (cioè tali che xy = yx).

[modifica] Costruire anelli a partire da altri anelli

Il centro di un anello A è l'insieme di tutti gli elementi di A che commutano (moltiplicativamente) con qualsiasi elemento di A. Il centro è un sottoanello di A, che coincide con A se e solo se A è commutativo.
Il prodotto diretto di due anelli A e B è il prodotto cartesiano A×B con le operazioni seguenti:

(a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a₁+a₂, b₁+b₂),

(a₁, b₁)(a₂, b₂) = (a₁a₂, b₁b₂).

In analogia con quanto accade per i gruppi, se S è un sottoanello di A, per costruire un "insieme quoziente" A/S è necessario che S soddisfi un'ipotesi ulteriore, simile a quella di sottogruppo normale. Un ideale soddisfa le ipotesi richieste: In questo caso il gruppo quoziente A/I viene ad assumere una struttura di anello e viene detto l'anello quoziente: esso è l'insieme delle classi laterali additive di I con le operazioni seguenti (supponiamo che I sia un ideale sinistro):

(a+I) + (b+I) = (a+b) + I e

(a+I)(b+I) = (ab) + I.

Un estensione di anelli è un dato di due anelli $R \supseteq S$ . A partire da S e da un sottoinsieme B di R, possiamo considerare il più piccolo sottoanello di R che contiene B e S. Tale estensione si indica con S[B] e si può descrivere come l'insieme delle combinazioni degli elementi di $S\cup B$ mediante le operazioni di anello. Essa si dice "finitamente generata" se B è finito.