Anello a fattorizzazione unica

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In algebra, un anello a fattorizzazione unica (o UFD, dall'inglese Unique Factorization Domain) è un dominio in cui ogni elemento può essere scritto in modo unico come prodotto di elementi primi, analogamente a quanto accade per i numeri interi grazie al teorema fondamentale dell'aritmetica.

Indice

1 Definizione
2 Esempi
- 2.1 Domini che sono a fattorizzazione unica
- 2.2 Domini che non sono a fattorizzazione unica
3 Proprietà
4 Voci correlate

[modifica] Definizione

Un dominio d'integrità A è un anello a fattorizzazione unica se ogni elemento x di A non nullo e diverso da una unità si scrive come prodotto di elementi irriducibili

x = p₁ p₂ ... p_n

e questa rappresentazione è unica, nell'accezione seguente: se q₁,...,q_m sono elementi irriducibili di R tali che

x = q₁ q₂ ... q_m,

allora m = n ed esiste una corrispondenza biunivoca φ : {1,...,n} -> {1,...,n} tale che p_i e q_φ(i) sono associati, per ogni i = 1, ..., n.

Una definizione alternativa, che non richiede unicità, è la seguente: un anello a fattorizzazione unica è un dominio A in cui ogni elemento non nullo e diverso da una unità è prodotto di elementi primi.

[modifica] Esempi

[modifica] Domini che sono a fattorizzazione unica

l'anello Z dei numeri interi, grazie al teorema fondamentale dell'aritmetica;
un campo qualsiasi, ad esempio il campo dei numeri razionali Q, reali R o complessi C;
l'anello K[x] dei polinomi a coefficienti in un campo K;
l'anello K[x, y]_d dei polinomi omogenei di grado d a coefficienti in un campo K;
l'anello Z[i] degli interi gaussiani.
l'anello K[[X₁,...,X_n]] delle serie formali a coefficienti in un campo K;

[modifica] Domini che non sono a fattorizzazione unica

L'anello $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ di tutti i numeri complessi del tipo $a+b \sqrt{-5}$ , dove a e b sono interi. L'elemento 6 infatti si fattorizza in due modi diversi, come $~2\cdot 3~$ e $(1+\sqrt{-5})\cdot (1-\sqrt{-5})$ . Si verifica che i quattro fattori sono irriducibili. Le due fattorizzazioni sono in effetti distinte perché le unità di questo anello sono solo 1 e -1.

[modifica] Proprietà

Un anello ad ideali principali è a fattorizzazione unica.

Sia A un anello a fattorizzazione unica.

L'anello A[x] dei polinomi a coefficienti in A è anch'esso a fattorizzazione unica. Quindi per induzione si dimostra ad esempio che gli anelli Z[X₁, ..., X_n] e K[X₁, ..., X_n] di polinomi in n variabili con coefficienti in Z o in un qualsiasi campo K sono a fattorizzazione unica. Se n>1 questi anelli non sono a ideali principali.
Ogni elemento irriducibile di A è primo. L'opposto è vero in ogni dominio d'integrità, quindi qui i concetti di primo e irriducibile coincidono.
Ogni coppia (o insieme finito) di elementi in A ha un massimo comune divisore ed un minimo comune multiplo, definiti a partire dal concetto di divisibilità in un dominio allo stesso modo che per gli interi.