Anello ad ideali principali
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In algebra, un anello ad ideali principali (o PID, dall'inglese Principal Ideal Domain) è un dominio d'integrità in cui ogni ideale è principale, cioè generato da un solo elemento.
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[modifica] Esempi
[modifica] Domini che sono ad ideali principali
- l'anello Z dei numeri interi;
- un campo qualsiasi;
- l'anello K[x] dei polinomi in una variabile x con coefficienti in un campo K.
[modifica] Domini che non sono ad ideali principali
- l'anello Z[x] dei polinomi a coefficienti interi: l'ideale generato da 2 e x non può essere generato da un solo polinomio;
- l'anello K[x, y] dei polinomi con due variabili a coefficienti in un campo: l'ideale generato da x e y non può essere generato da un solo polinomio.
[modifica] Proprietà
Un anello ad ideali principali è anche un anello a fattorizzazione unica, e quindi eredita tutte le proprietà di questo:
- un elemento dell'anello è primo se e solo se è irriducibile;
- ogni elemento si scompone in prodotto di elementi primi;
- ogni coppia di elementi ha un massimo comune divisore ed un minimo comune multiplo;
D'altra parte, gli anelli Z[x] e K[x, y] sono a fattorizzazione unica, ma non ad ideali principali.
Tra le proprietà specifiche degli anelli ad ideali principali troviamo:
- ogni anello ad ideali principali è noetheriano;
- ogni ideale primo non nullo è massimale;
- un anello ad ideali principali è integralmente chiuso.
Queste tre proprietà sono le definizioni dell'anello di Dedekind. Quindi ogni anello ad ideali principali è di Dedekind. In verità abbiamo il risultato seguente:
- Un anello è a ideali principali se e solo se è di Dedekind e a fattorizzazione unica.
D'altra parte, abbiamo il seguente:
- Un anello euclideo è ad ideali principali.
Non è facile trovare anelli ad ideali principali non euclidei: un esempio è dato dall'anello
![\Bbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]](../../../../math/3/4/8/348718f01af0d987f73c58815fd1be33.png)
[modifica] Voci correlate
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