Campo (matematica)

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In matematica, un campo è una struttura algebrica composta da un insieme K e due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto e indicate rispettivamente con + e *, che godono di proprietà simili a quelle verificate dai numeri razionali o reali.

Il campo è una struttura algebrica basilare in matematica, necessaria per lo studio approfondito dei polinomi e delle loro radici, e per la definizione degli spazi vettoriali.

[modifica] Definizione formale

L'insieme K, dotato di due operazioni binarie + e *, è un campo se valgono i seguenti assiomi:

(K, +) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0:

(a + b) + c = a + (b + c)
a + b = b + a
0 + a = a + 0 = a
∀a ∃(−a) tale che a + −a = −a + a = 0

(K \{0}, *) è un gruppo abeliano con elemento neutro 1:

(a*b)*c = a*(b*c)
a*b = b*a
1*a = a*1 = a
∀a≠0 ∃(a^-1) tale che a*a^-1 = a^-1*a = 1

La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:

a*(b + c) = (a*b) + (a*c)

(le relazioni devono valere per ogni a, b e c in K)

Ciascuna delle seguenti definizioni di campo è equivalente a quella data:

un anello commutativo in cui ogni elemento non nullo ha un inverso;
un corpo commutativo rispetto alla moltiplicazione.

A volte un campo è chiamato corpo commutativo.

Il gruppo moltiplicativo K \{0} è solitamente indicato con K^*.

[modifica] Esempi

L'insieme dei numeri razionali Q, con le operazioni di addizione e moltiplicazione usuali tra numeri è un campo.
L'insieme dei numeri reali R, con le operazioni di addizione e moltiplicazione tra numeri reali è un campo.
L'insieme dei numeri complessi C, con l'appropriata estensione delle operazioni di addizione e moltiplicazione è un campo.
I numeri algebrici formano un campo.
I quaternioni, i numeri surreali e i numeri p-adici formano dei campi.
L'insieme Z/pZ delle classi di resto modulo p con le usuali operazioni di somma e prodotto forma un campo se e solo se p è un numero primo.

[modifica] Anelli e campi

Anelli che non sono campi:

L'esempio più importante è l'insieme Z dei numeri interi: non è un campo perché i soli elementi ad avere un inverso moltiplicativo sono +1 e -1.
Il prodotto di anelli è un anello, ma il prodotto di campi non è un campo. Quindi ad esempio R² = R × R è un anello ma non un campo: l'elemento (1,0) non ha un inverso.
Ogni dominio d'integrità finito è un campo.

D'altra parte, ogni dominio d'integrità A è contenuto in un campo, detto campo quoziente, che è il "più piccolo" campo fra quelli contenenti A. Il campo quoziente di Z è Q.

[modifica] Sottocampi e estensione di campi

Un sottoinsieme di un campo K che è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto, contenente 0 e 1, e che è un campo con queste operazioni è chiamato sottocampo. Ad esempio, Q è un sottocampo di R, che è a sua volta sottocampo di C.

Analogamente si definisce la nozione di estensione di un campo K, come l'immersione di K come sottocampo di un campo più grande H. Questa nozione è strettamente connessa allo studio delle radici di un polinomio: una tale estensione è algebrica se ogni elemento di H è radice di un polinomio a coefficienti in K. Ad esempio, l'estensione di R in C, o di Q nel campo dei numeri algebrici, è un'estensione algebrica.

[modifica] Proprietà

Un campo K ha caratteristica zero oppure un numero primo p.
Un campo K con un numero finito di elementi, detto campo finito, è fatto di pⁿ elementi, dove p è un numero primo.
Come anello, un campo K non contiene ideali tranne l'ideale nullo {0} e K stesso.
Assumendo l'assioma della scelta si può dimostrare che ogni campo K ha una chiusura algebrica: ad esempio C è la chiusura algebrica di R.
Ogni sottogruppo finito del gruppo abeliano moltiplicativo K^* è ciclico.