Serie formale di potenze in più variabili

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In matematica le serie formali di potenze in più variabili costituiscono estensioni abbastanza dirette delle serie formali di potenze. Se si denotano con R un anello commutativo, con r un intero maggiore di 1 e con X₁,... ,X_r si denotano variabili formali, si giunge alla definizione di un anello di serie formali di potenze sopra R in queste variabili variabili, denotato R[[X₁,...,X_r]]. Gli elementi di questo anello si possono esprimere univocamente nella forma

$\sum_{\mathbf{n}\in\Bbb{N}^r} a_\mathbf{n} \mathbf{X^n}$

done n = (n₁,...,n_r) ∈ N^r e con Xⁿ si denota il monomio X₁^n₁...X_r^n_r. Questa somma nella topologia appropriata converge per ogni scelta dei coefficienti a_n∈R, e l'ordine della sommazione è ininfluente.

[modifica] Definizione

Una possibile definizione dell'anello delle serie formali di potenze sopra R si serve dell'ideale che denotiamo con I, l'ideale di R[X₁,...,X_r] generato da X₁,...,X_r, cioè l'ideale consistente nei polinomi con termine costante uguale a zero. Come R[[X₁,...,X_r]] si assume allora il completamento dell'anello dei polinomi R[X₁,...,X_r] in r variabili rispetto alla topologia I-adica.

Alternativamente, si può procedere in modo simile a quello tenuto con la costruzione più esplicita e graduale per le serie formali di potenze di una sola variabile, giungendo in un primo momento alla struttura di anello in termini di successioni "multi-dimensionali" e successivamente definendo la topologia.

La topologia su R[[X₁,...,X_r]] è la topologia J-adica, dove con J si denota l'ideale di R[[X₁,...,X_r]] generato da X₁,...,X_r, ovvero l'ideale consistente nelle serie con termine costante nullo. Quindi due serie sono considerate "vicine" se i loro primi pochi termini coincidono, dove per primi pochi termini intendiamo i termini il cui grado totale n₁ + ... + n_r ha valore limitato.

[modifica] Avvertimento

Sebbene R[[X₁, X₂]] e R[[X₁]][[X₂]] siano isomorfi in quanto anelli, essi non sono muniti della stessa topologia. Ad esempio la successione di loro elementi

$f_n = X_1^n, \quad n \geq 1$

converge a zero in R[[X₁, X₂]] per n → ∞; al contrario, nell'anello R[[X₁]][[X₂]], essa non converge, in quanto la copia di R[[X₁]] immersa in R[[X₁]][[X₂]] è stata munita della topologia discreta.

[modifica] Operazioni

Tutte le operazioni definite per le serie in una variabile possono essere introdotte per le serie in più variabili.

L'addizione viene effettuata termine a termine.
La moltiplicazione viene effettuata con la regola di Cauchy.
Una serie risulta invertibile rispetto al prodotto alla Cauchy se e solo se il suo termine costante è invertibile nell'anello R.
La composizione f(g(X)) di due serie f e g viene definita solo se il termine costante della g è zero.

Per quanto riguarda la derivazione formale, ora si introducono r operatori di derivata parziale che differenziano rispetto alle r singole variabili. Ciascuno di essi commuta con tutti i rimanenti, come accade per le derivazioni parziali delle funzioni continuamente differentiabili.

[modifica] Proprietà universale

L'insieme delle serie formali di potenze in più variabili R[[X₁, ..., X_r]] è caratterizzato dalla seguente proprietà universale. Se S è un'algebra commutativa associativa su R, se I è un ideale di S tale che la topologia I-adica su S è completa e se x₁, ... e x_r sono elementi di I, allora esiste una unica applicazione Φ : R[[X₁, ..., X_n]] → S con le seguenti proprietà: