Monoide
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Un monoide è un insieme M munito di una singola operazione binaria, chiamata prodotto, che ad ogni coppia di elementi a, b di M associa un elemento ab, rispettando i seguenti assiomi:
G0) magma :per ogni a, b appartenenti a M, il loro prodotto ab appartiene ancora a M, vale a dire, M è chiuso rispetto al prodotto
G1) Semigruppo. Il prodotto è associativo: dati a, b, c appartenenti a M, vale (ab)c = a(bc).
G2) Esiste in M un elemento neutro e tale che ae = ea = a per ogni a in M.
Si vede subito che l'elemento neutro è univocamente determinato. Infatti se e, f sono entrambi elementi neutri, si ha f = ef = e, dove la prima eguaglianza segue dal fatto che e è un elemento neutro, e la seconda dal fatto che lo è f.
Un monoide è quindi un Semigruppo unitario, ovvero un Magma associativo unitario.
Un elemento a del monoide M si dice invertibile se esiste in M un suo inverso, cioè un elemento b in M tale che ab = ba = e. Se esiste, questo elemento b è univocamente determinato, e può dunque essere chiamato l'inverso di a. Infatti se b, c sono entrambi inversi di a, si ha b = be = b(ac) = (ba)c = ec = c, dove le eguaglianze seguono nell'ordine dalla definizione di elemento neutro, dal fatto che c è un inverso di a, dalla proprietà associativa, dal fatto che b è un inverso di a, e ancora dalla definizione di elemento neutro.
Se ogni elemento di un monoide M è invertibile, allora M è un gruppo.
Più in generale, sia M un monoide qualsiasi, e sia G l'insieme degli elementi invertibili di M. Intanto, G non è vuoto, perché si vede subito che contiene e. E poi si può vedere che G è un gruppo rispetto alla stessa operazione di M. Il gruppo G viene detto il gruppo degli elementi invertibili del monoide M.
Un esempio tipico di monoide è dato dalle funzioni f: X → X definite da un insieme in sé stesso, dove il prodotto è dato dalla composizione (fg)(x):= (f o g)(x) = g(f(x)). L'elemento neutro è dato dalla funzione identità id : X → X, id(x):= x. Il gruppo degli elementi invertibili è formato in questo caso dalle funzioni biiettive.
[modifica] Voci correlate
- altre strutture algebriche
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