Monoide

En matemàtiques, un monoide és una estructura algebraica consistent en un conjunt dotat d'una llei de composició interna associativa i d'un element neutre. Un monoide és doncs, un grupoide associatiu i amb element neutre.

Amb altres paraules, $(E,\star,e)$ és un monoide si:

$\forall (x,y)\in E^2, x\star y \in E$ (llei de composició interna).
$\forall (x,y,z)\in E^3, x\star (y\star z) = (x\star y)\star z$ (associativitat)
$e\in E, \forall x\in E, x\star e=e\star x=x$ (element neutre).

A vegades es troben definicions de monoide en què no es requereix l'existència de l'element neutre.

Un monoide es diu simplificable a l'esquerra si

$\forall (a,b,c)\in E^3, a*b=a*c\Rightarrow b=c.$

De forma similar, es pot definir simplificable a la dreta.

[edita] Submonoide

Un submonoide d'un monoide $(E,\star,e)\,$ és un subconjunt $E'\,$ de $E\,$ que verifica

$\forall (x,y)\in (E')^2\, (x \in E'\, i\, y \in E') \Rightarrow (x\star y \in E')$ (estabilitat)
$e \in E'\,$

El conjunt dels naturals, amb l'addició, és un monoide, en què 0 és l'element neutre.
El conjunt dels naturals, amb la multiplicació, és un monoide, d'element neutre 1, que no es simplificable ja que $(\forall (n,m), 0\cdot n=0\cdot m\,)$ .
El conjunt de les paraules formades sobre un alfabet, dotat de concatenació, és un monoide que s'anomena monoide lliure, en què la paraula muda és l'element neutre.
El conjunt de les parts d'un conjunt, dotat de la unió de conjunts, és un monoide, en què el conjunt buit és l'element neutre.
El conjunt de les parts d'un conjunt, dotat de la intersecció de conjunts, és també un monoide, en què l'element neutre és el conjunt total.