Monoide

En matem??tiques, un monoide ??s una estructura algebraica consistent en un conjunt dotat d'una llei de composici?? interna associativa i d'un element neutre. Un monoide ??s doncs, un grupoide associatiu i amb element neutre.

Amb altres paraules, $(E,\star,e)$ ??s un monoide si:

$\forall (x,y)\in E^2, x\star y \in E$ (llei de composici?? interna).
$\forall (x,y,z)\in E^3, x\star (y\star z) = (x\star y)\star z$ (associativitat)
$e\in E, \forall x\in E, x\star e=e\star x=x$ (element neutre).

A vegades es troben definicions de monoide en qu?? no es requereix l'exist??ncia de l'element neutre.

Un monoide es diu simplificable a l'esquerra si

$\forall (a,b,c)\in E^3, a*b=a*c\Rightarrow b=c.$

De forma similar, es pot definir simplificable a la dreta.

[edita] Submonoide

Un submonoide d'un monoide $(E,\star,e)\,$ ??s un subconjunt $E'\,$ de $E\,$ que verifica

$\forall (x,y)\in (E')^2\, (x \in E'\, i\, y \in E') \Rightarrow (x\star y \in E')$ (estabilitat)
$e \in E'\,$

El conjunt dels naturals, amb l'addici??, ??s un monoide, en qu?? 0 ??s l'element neutre.
El conjunt dels naturals, amb la multiplicaci??, ??s un monoide, d'element neutre 1, que no es simplificable ja que $(\forall (n,m), 0\cdot n=0\cdot m\,)$ .
El conjunt de les paraules formades sobre un alfabet, dotat de concatenaci??, ??s un monoide que s'anomena monoide lliure, en qu?? la paraula muda ??s l'element neutre.
El conjunt de les parts d'un conjunt, dotat de la uni?? de conjunts, ??s un monoide, en qu?? el conjunt buit ??s l'element neutre.
El conjunt de les parts d'un conjunt, dotat de la intersecci?? de conjunts, ??s tamb?? un monoide, en qu?? l'element neutre ??s el conjunt total.