Probabilitat

De Viquipèdia

La probabilitat és la possibilitat que alguna cosa pugui ocórrer o sigui el cas. La teoria de la probabilitat s'usa extensament en àrees com l'estadística, la matemàtica, la ciència i la filosofia per a treure conclusions sobre la probabilitat de successos potencials i la mecànica subjacent de sistemes complexos.

El càlcul de probabilitats és una part de les matemàtiques que es dedica a calcular la possibilitat (probabilitat) que pugui ocórrer un determinat succés, quan es realitza un experiment aleatori. S´entén per experiment aleatori aquell en el que no es coneix el resultat que sortirà, però si tots els resultats possibles (per exemple: llançar una moneda a l´aire, jugar a la loteria primitiva, fer una travessa, etc.). Un succés d´un experiment aleatori no és més que un subconjunt dels possibles resultats, com per exemple treure un sis quan llancem un dau a l´aire, o treure cara quan llancem una moneda.

El matemàtic francès Laplace (castellà), va contribuir de manera important al desenvolupament del càlcul de probabilitats. És de destacar la famosa "regla de Laplace", que ens permet calcular mitjançant una fórmula, la probabilitat d´un succés associat a un experiment aleatori, en el cas que tots els successos d´aquesta experiència siguin equiprobables (és a dir, que tinguin la mateixa probabilitat de verificar-se).

Així tot, la probabilitat no és pas una ciència exacta. Simplement analitza i calcula possibles resultats. No hem de confiar cegament en ella, en el sentit que si hem obtingut un resultat d´un 90% per exemple en un problema concret, no vol dir que necessàriament hagi de succeir. Moltes vegades, per poc que ens agradi, ocórren els resultats amb menys probabilitat teòrica.

Quan es tracta de resoldre problemes basats en experiències aleatòries, i ens preguntem per la probabilitat que pugui ocórrer un determinat succés, llavors necessitem fórmules matemàtiques que ens permetin obtenir aquests resultats. La fórmula que es pot considerar fonamental per al càlcul de probabilitats és una contribució del matemàtic Laplace com hem comentat abans, i expressa la probabilitat associada a un succés d´un experiment aleatori, en el cas que tots els successos corresponents tinguin la mateixa probabilitat de succeir. Es pot expressar així:

el numerador expressa el nombre total de casos favorables perquè pugui ocórrer el succés que estem considerant. El denominador expressa el nombre total de casos possibles de l´experiment aleatori en qüestió.

Per calcular els valors del numerador i del denominador, en realitat es tracta de comptar, hem de tenir unes nocions bàsiques de càlcul combinatori.

La regla de Laplace és molt útil per al càlcul de probabilitats, però també hem de tenir en compte que ens poden presentar casos una mica més complexes. A l´hora de calcular la probabilitat en un problema concret, pot ocórrer que un succés estigui compost per altres successos, amb difererents possibilitats, i llavors la seva probabilitat no seria pas la que ens dóna directament la regla de Laplace.

[edita] Probabilitat de successos compostos

Imaginem que ens demanem per la probabilitat d´un succés associat a un experiment aleatori, en el qual hi ha diferents possibilitats perquè pugui ocórrer. Per exemple: si disposem de dues urnes que contenen boles de color blanc i negre, quina és la probabilitat que al triar una urna a l´atzar i una bola, aquesta sigui de color blanc? En aquest cas, la probabilitat té dues opcions: elegir la primera o la segona urna.

En casos com aquest, en els quals la probabilitat d´un succés té diferents opcions, es parla de probabilitat de successos compostos, i no se pot aplicar directament la regla de Laplace.

Si anomenam A i B dos successos, de tal manera que el succés pel qual ens demanem la probabilitat està compost per d´aquests dos, la probabilitat que pugui ocórrer A o B és:

éssent P(A) la probabilitat associada al succés A, P(B) la del succés B, i P(A∩B) la probabilitat que puguin succeir simultàniament (en el cas que no sigui possible seria 0).

Quan la probabilitat P(A∩B) és diferent de zéro, llavors es calcula així:

és a dir, el producte de probabilitats.

[edita] Probabilitat condicionada

Hi ha casos, en els quals necessitem conèixer la probabilitat d´un succés sabent que prèviament ha ocorregut un altre. És el que es coneix com a probabilitat condicionada. Si B representa el succés que ha passat i A el succés pel qual ens demanem la probabilitat, la fórmula que ens permet calcular la probabilitat que ocorri el succés A sabent que ha ocorregut el B, és:

éssent P(A∩B) la probabilitat que es verifiquin el successos A i B simultàniament, i P(B) la probabilitat associada al succés B.

Podem generalitzar el resultat anterior, si consideram que: A₁,A₂,A₃,..........A_n, són successos independents associats a un experiment aleatori, i que B és una altre succés qualsevol. Llavors, la probabilitat que es verifiqui el succés A_i sabent que prèviament s´ha verificat el B, és:

aquest resultat es coneix amb el nom de Teorema de Bayes.

[edita] Enllaços externs

• Probabilitat a thales.cica.es (castellà)

• Bayes´s Theorem (anglès)

Aquest article sobre matemàtiques és un esborrany i possiblement li calgui una expansió substancial o una bona reestructuració del seu contingut. Per això, podeu ajudar la Viquipèdia expandint-lo i millorant la seva qualitat traduint d'altres Viquipèdies, posant textos amb el permís de l'autor o extraient-ne informació.