Nocions bàsiques de càlcul combinatori

De Viquipèdia

La combinatòria és una part de les matemàtiques que es dedica a calcular el nombre dels possibles resultats en problemes concrets. Preguntes com: quants resultats possibles ens poden sortir al llançar dos daus? o quantes combinacions possibles es poden fer amb els números de la loteria primitiva?, etc. tenen resposta dins l´àmbit de l´anàlisi combinatori (castellà).

Tinguem en compte que utilitzant la combinatòria, només calculam el nombre total de possibles resultats, i no pas tots i cada un d´ells individualment. Per a fer tots aquests càlculs, la combinatòria utilitza tres conceptes fonamentals: les variacions, les combinacions i les permutacions. Què representa cada un d´ells?

[edita] Les variacions:

Es tracta de mostres d´elements (poden ser nombres, objectes, persones, etc.) que es diferencien unes de les altres en l´ordre de col.locació dels elements dins cada mostra. Generalment en cada problema concret es defineix un conjunt d´elements, i en cada variació es poden prendre tots o bé una part d´aquest conjunt. Existeixen variacions sense elements repetits, i també variacions amb elements repetits.

[edita] Les permutacions:

Es tracta de mostres en les quals s´agafen sempre tots els elements del conjunt inicial. Com en el cas de les variacions, cada permutació es diferencia de les altres en l´ordre de col.locació dels elements dins la mostra. També, com en el cas anterior, hi ha permutacions sense elements repetits i amb elements repetits.

[edita] Les combinacions:

Es tracta de mostres en les quals s´agafen tots o part dels elements del conjunt inicial, i a diferència de les anteriors, en cada combinació no influeix l´ordre de col.locació dels elements. En les combinacions no considerarem elements repetits.

Ara us mostrarem quines són les fórmules per al càlcul de les variacions, permutacions i combinacions en els diferents casos:

VARIACIONS:

a)Sense elements repetits:

V_m,n = m(m − 1)(m − 2)........(m − n + 1)

m= nombre total dels elements; n= nombre d´elements de la mostra (n≤m)

b) Amb elements repetits:

VR_m,n = mⁿ

PERMUTACIONS:

a) Sense elements repetits:

P_n = n! = n(n − 1)(n − 2)(n − 3)....3.2.1

éssent n= nombre total d´elements

b) Amb elements repetits:

éssent n₁, n₂,....n_n les vegades que es repeteixen cada element dins la mostra.

COMBINACIONS:

m= nombre total d´elements; n= nombre d´elements a cada mostra