[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Teorema de Bayes - Viquipèdia

Teorema de Bayes

De Viquipèdia

El teorema de Bayes, és un dels teoremes més emprats a la teoria de la probabilitat. Descobert per Thomas Bayes és una manera particular de relacionar dues probabilitats per tal de demostrar la relació entre la probabilitat d'un esdeveniment condicionada al succés d'un segon esdeveniment i la probabilitat d'aquest segon esdeveniment condicionada al succés del primer, és a dir, entre P(A | B) i P(B | A).

Sigui A1,A2,...,An una partició de l'espai E i sigui B un esdeveniment qualsevol. De l'expressió de la probabilitat condicionada, si P(B) \neq 0 es defineix la probabilitat del succés A condicionada a B tal com:

P(A_1|B) = \frac{P(B | A_1) P(A_1)}{P(B)}

ens dóna la probabilitat de A sabent d'entrada que s'ha verificat el succés B i, per tant:

P(A_1|B) = \frac{P(B | A_1) P(A_1)}{\sum_{i=1}^n P(B | A_i) P(A_i)}

Aquesta manera de relacionar les probabilitats condicionades P(Ai | B) i P(B | Aj) del primer i darrer termes de la igualtat s'anomena fórmula de Bayes, essent particularment útil.

[edita] Formes alternatives del teorema de Bayes

[edita] Teorema de Bayes per a funcions de densitat de probabilitat

Existeix una versió del teorema de Bayes que pot aplicar-se a variables aleatòries contínues. Derivar aquesta forma del teorema és més complexe matemàticament, però l'expressió del teorema és tan senzilla com la presentada anteriorment:

f(x|y) = \frac{f(x,y)}{f(y)} = \frac{f(y|x)\,f(x)}{f(y)} \!

També podem expressar el teorema de la següent manera:

f(x|y) = \frac{f(y|x)\,f(x)}{\int_{-\infty}^{\infty} f(y|x)\,f(x)\,dx}. \!

La nomenclatura és la següent: f(x, y) és la funció de densitat conjunta de X i Y, f(x|y) és la densitat de X condicional a Y=y (de vegades també anomenada com a distribució a posteriori de X), f(y|x) =  i f(x) i f(y) són les funcions de densitat marginals d'X i Y respectivament (de vegades f(x) s'anomena la distribució a priori d'X).

Aquí hem abusat la notació lleugerament, ja que hem emprat f per tots aquests termes, tot i que cadascun és en realitat una funció diferent. Les funcions es poden distingir fàcilment pel nom dels seus arguments.

[edita] Teorema de Bayes emprant derivades de Radon-Nykodim

Existeix una versió general del teorema de Bayes que és vàlid per variables aleatòries contínues i discretes, així com per qualsevol dues variables per les quals disposem de la derivada de Radon-Nykodim de la seva distribució de probabilitat respecte una mesura sigma-finita.

Sigui PX la mesura de probabilitat de X, μX una mesura sigma-finita que domina a PX, i anomenem f_X= \frac{dP_X}{d\mu_X} a la derivada de Radon-Nykodim de PX respecte μX. Definim de forma anàloga PY, μY i f_Y= \frac{dP_Y}{d\mu_Y} . Considerem la mesura de probabilitat conjunta per a (X,Y), que està dominada per la mesura producte \lambda=\mu_X \times \mu_Y , i anomenem f_{(X,Y)}= \frac{dP_{(X,Y)}}{d\lambda} . Aleshores la derivada de Radon-Nykodim de la mesura de probabilitat de X condicional a la sigma-algebra originada per, f_{(X|Y)}= \frac{dP_{(X|Y)}}{d\mu_X} , satisfa:

f_{(X|Y)}= \frac{f_{(X,Y)}}{f_Y} .

Si tant X com Y són variables aleatòries discretes, aquesta fòrmula és equivalent a la versió original del teorema de Bayes. Si tant X com Y són variables aleatòries contínues, aquesta fòrmula és equivalent a la versió del teorema per a funcions de densitat de probabilitat presentada anteriorment. Tanmateix, aquesta versió és més general i pot aplicar-se, per exemple, quan X és contínua i Y és discreta.

Aquesta versió del teorema pot generalitzar-se al cas de tenir més de dues variables aleatòries. De fet, la generalització és directe: tan sols cal considerar que X i Y són vectors aleatoris en lloc de variables aleatòries. Donat que les versions presentades anteriorment en són casos particulars, també es poden generalitzar de forma directe al cas de tenir més de dues variables aleatòries.