Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Geometria diferencial - Viquip??dia

Geometria diferencial

De Viquip??dia

En matem??tiques, la geometria diferencial ??s la utilitzaci?? de les eines del c??lcul diferencial a l'estudi de la geometria. Els objectes d'estudi s??n les varietats diferencials, que tenen una estructura suficient com per poder introduir la noci?? de derivaci??, i tamb??, les funcions definides en aquestes varietats.

La geometria diferencial troba la seva principal aplicaci?? f??sica en la teoria de la relativitat on permet la modelitzaci?? d'una curvatura de l'espai-temps. Es pot igualment citar altres aplicacions de la f??sica cl??ssica. En la mec??nica dels medis continus, per exemple, ??s ??til en la descripci?? de les deformacions dels cossos el??stics, en particular, de les bigues o de les estructures.

Taula de continguts

[edita] Punts de vista intr??nsecs i extr??nsecs

Fins a mitjans del segle XIX, la geometria diferencial tenia essencialment un punt de vista extr??nsec respecte de les varietats trobades, aix?? significa que eren definides com un subconjunt d'un espai vectorial (normalment \R^n\,). Per exemple, s'estudiava les propietats d'una corba en el pla, o d'una superf??cie en l'espai de dimensi?? tres. Geometria diferencial cl??ssica.

Els treballs de Bernhard Riemann van introduir una visi?? intr??nseca de les varietats, constantment desenvolupada posteriorment. A partir d'aleshores, s??n considerades com un objecte en ell mateix, i no com a part d'un altre. Ja no t?? sentit voler sortir de la varietat, per ell sol t?? prou consist??ncia, independentment de qualsevol noci?? d'espai circumdant, i per tant es podr?? donar un sentit a les nocions de tang??ncia i curvatura, etc.

El punt de vista intr??nsec t?? l'avantatge de ser molt m??s flexible que el punt de vista extr??nsec, ni que sigui pel fet que no obliga a trobar un espai que pugui contenir la varietat considerada, el que a vegades, pot ser dif??cil. Per exemple l'ampolla de Klein ??s una superf??cie (??s a dir, una varietat de dimensi?? 2) per?? per tal de submergir-la en un espai circumdant cal escollir \R^4\,. Fins i tot, no ??s evident de poder trobar un espai continent de l'espai-temps corbat. Tantmateix, la flexibilitat guanyada es tradueix en una major abstracci?? i dificultat per poder definir nocions geom??triques com la curvatura, o topol??giques com la connexitat.

[edita] Explicaci?? matem??tica

La geometria diferencial abasta l'an??lisi i l'estudi de diferents conceptes:

  • l'estudi de varietats.
  • els fibrats tangents i cotangents
  • les formes diferencials
  • les derivades exteriors
  • les integrals de les P-formes sobre les P-varietats
  • El teorema de Stokes
  • Les derivades de Lie
  • la curvatura

Tots aquests conceptes estan relacionats amb l'an??lisi de variables m??ltiples, per??, en les aplicacions geom??triques, cal raonar sense preferir un determinat sistema de coordenades. Aquesta diversitat de conceptes de la geometria diferencial es pot veure dins la naturalesa geom??trica de la derivada segona, ??s a dir, en les caracter??stiques de la curvatura.

Una varietat diferencial en un espai topol??gic ??s un conjunt d'homeomorfismes dels conjunts oberts en una esfera unit??ria \R^n\,, tals que els conjunts oberts cobreixen l'espai i que si f,g\, s??n homeomorfismes llavors la funci?? f^{-1}\circ g\, d'un subconjunt obert de l'esfera unit??ria cap a l'esfera oberta unit??ria ??s infinitament diferenciable. Es a dir que la funci?? d'una varietat cap a R ??s infinitament diferenciable si la composici?? de cada homeomorfisme ??s el resultat d'una funci?? infinitament diferenciable a partir de l'esfera unit??ria a R.

En cada punt de la varietat es troba un espai tangent en aquest punt, constitu??t per totes les velocitats (direcci?? i intensitat) possibles i i amb les que ??s possible apartar-se d'aquest punt. Per a una varietat de n-dimensions, l'espai tangent en cada un dels punts ??s un espai vectorial de n-dimensions o, en altres termes, una c??pia de \R^n\,.L'espai tangent t?? diverses definicions. Una definici?? possible ??s l'espai vectorial dels camins que passen per aquest punt, factoritzat per la relaci?? d'equival??ncia que identifica dos camins que tenen el mateix vector velocitat en aquest punt (??s a dir la mateixa derivada si s'opera amb qualsevol identificador).

Un camp de vectors ??s una funci?? d'una variable respecte la uni?? disjunta dels seus espais tangents (la uni?? amb ella mateixa ??s una varietat coneguda com el fibrat tangent) de tal forma que, en cada punt, el valor obtingut ??s un element de l'espai tangent en aquest punt. Una tal relaci?? s'anomena secci?? d'una fibrat. Un camp vectorial ??s diferenciable si per a cada funci?? diferenciable, l'aplicaci?? del camp en cada punt produeix una funci?? diferenciable. Els camps vectorials poden ser percebuts com equacions diferenciables independents del temps. Una funci?? diferenciable dels reals sobre la varietat ??s una corba de la varietat. Aix?? defineix una funci?? dels reals sobre els espais tangents: la velocitat de la corba en cada un dels punts que la contitueixen. Una corba ??s una soluci?? del camp vectorial si, per a cada punt, la velocitat de la corba ??s igual al camp vectorial en aquest punt.

Una k-forma lineal alternada ??s un element de la k^e\, pot??ncia d'un tensor antisim??tric del espai dual E^*\, d'un espai vectorial E\,. Una k-forma diferencial d'una varietat ??s una opci??, en cada punt de la varietat, de la dita k-forma alternada on E\, ??s l'espai tangent en aquest punt. Ser?? diferenciable si el resultat despr??s d'una operaci?? sobre k\,-camps vectorials diferenciables, ??s una funci?? diferenciable de la varietat cap els reals.

[edita] Branques de la topologia i de la geometria diferencials

[edita] Geometria de les varietats de contacte

??s semblant a la geometria simpl??ctica que treballa amb les varietats que tenen dimensi?? senar. A grans trets, l'estructura de contacte d'una varietat de dimensi?? (2n+1)\, ??s una tria d'una forma diferencial \alpha\, tal que \alpha\wedge (d\alpha)^n\, no s'anul??la en cap punt.

[edita] Geometria de Finsler

La geometria de Finsler fa de la varietat de Finsler el seu principal objecte d'estudi. ??s una varietat diferencial prove??da de la m??trica de Finsler, aix?? ??s una norma de Banach definida en cada espai tangent. La m??trica de Finsler d??na una estructura m??s general que la m??trica de Riemann.

[edita] Geometria de Riemann

La geometria de Riemann estudia les varietats de Riemann, varietats amb una estructura suplement??ria que les fa apar??ixer com l'espai euclidi?? amb un punt de vista infinitesimal. Permeten generalitzar la noci?? de la geometria euclidiana i l'an??lisi del gradient d'una funci??, la diverg??ncia, la longitud de la corba, etc. sense sortir del principi que l'espai ??s globalment sim??tric.

[edita] Topologia simpl??ctica

Tracta de les varietats simpl??ctiques , aix?? ??s, varietats diferenciables prove??des d'una forma simpl??ctica.

[edita] Refer??ncies

  • A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (5 Volums), 3?? Edici?? de Michael Spivak (1999)
  • Differential Geometry of Curves and Surfaces de Manfredo Do Carmo (1976).
  • Riemannian Geometry de Manfredo Perdigao do Carmo, Francis Flaherty (1994)
  • Geometry from a Differentiable Viewpoint de John McCleary (1994)
  • A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry de Ethan D. Bloch (1996)
  • Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. de Alfred Gray (1998)

[edita] Vegeu tamb??

[edita] Enlla??os externs