Forma lineal

De Viquipèdia

Sigui $V$ un objecte matemàtic qualsevol amb estructura lineal sobre un altre objecte $K$ amb estructura aritmètica. Típicament $V$ és un $K$ -mòdul sobre un anell $K$ , o un espai vectorial sobre un cos $K$ . Una forma lineal $ω$ és una aplicació

$\omega: V \longrightarrow K \,$

de l'objecte $V$ a l'objecte $K$ que compleix el requeriment de linealitat:

$\omega(\lambda x + \mu y) = \lambda \omega(x) + \mu \omega(y) \,,\quad x, y \in V \,,\quad \lambda, \mu \in K \,$

Si $V$ és un espai vectorial, les formes lineals a $V$ se solen anomenar també covectors, en contraposició al nom de vectors que hom fa servir pels elements de $V$ .

[edita] Notació

Si $ω$ és una forma lineal i $x \in V$ , hom sol usar la notació

$\langle x, \omega \rangle\,$

per expressar el valor $\omega(x)\,$ de la forma $\omega\,$ en l'element $x\,$ , és a dir, $\langle x, \omega \rangle = \omega(x) \,$ .

[edita] Objectes duals

El conjunt $V^{\ast}\,$ de les formes lineals de l'objecte $V$ a l'objecte $K$ és l'estructura dual de l'objecte $V^{\ast}\,$ . Si $V$ és un $K$ -mòdul o un $K$ -espai vectorial, $V^{\ast}\,$ és, respectivament, el $K$ -mòdul dual o l'espai dual.

[edita] Càlcul

Com que, en tots els casos, una forma lineal no és més que un homomorfisme de $V$ a l'objecte $K$ , si $V$ és un mòdul lliure finitament generat o un espai vectorial de dimensió finita, hom pot condensar tota la informació sobre una certa forma lineal $ω$ en la matriu d'aquest homomorfisme. Si $\mathcal{B} = \left\{g_1, g_2, \ldots, g_n\right\}$ és una base de $V$ i prenem $\left\{1\right\}$ com a base de $K$ , la matriu de la forma lineal $ω$ és

$\omega \quad \longleftrightarrow \quad \begin{pmatrix} \langle g_1, \omega \rangle & \langle g_2, \omega \rangle & \ldots & \langle g_n, \omega \rangle \end{pmatrix} \,$

d'una fila i $n$ columnes. Per aquest motiu, les formes lineals a espais vectorials també se solen anomenar vectors fila en contraposició als elements de l'espai que són els vectors columna.

El càlcul del valor de la forma $ω$ en l'element $v = \lambda_1 g_1 + \lambda_2 g_2 + \cdots + \lambda_n g_n \in V$ es fa amb el producte habitual de matrius:

$\langle v, \omega \rangle\ = \begin{pmatrix} \langle g_1, \omega \rangle & \langle g_2, \omega \rangle & \ldots & \langle g_n, \omega \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n \langle g_i, \omega \rangle \lambda_i \,$

[edita] Vegeu també

Categoria: Àlgebra

Forma lineal

De Viquipèdia

Taula de continguts

[edita] Notació

[edita] Objectes duals

[edita] Càlcul

[edita] Vegeu també

Views

Navegació

comunitat

Cerca