[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Forma lineal - Viquipèdia

Forma lineal

De Viquipèdia

Sigui V un objecte matemàtic qualsevol amb estructura lineal sobre un altre objecte K amb estructura aritmètica. Típicament V és un K-mòdul sobre un anell K, o un espai vectorial sobre un cos K. Una forma lineal ω és una aplicació

\omega: V \longrightarrow K \,

de l'objecte V a l'objecte K que compleix el requeriment de linealitat:


\omega(\lambda x + \mu y) = \lambda \omega(x) + \mu \omega(y) \,,\quad x, y \in V \,,\quad \lambda, \mu \in K \,

Si V és un espai vectorial, les formes lineals a V se solen anomenar també covectors, en contraposició al nom de vectors que hom fa servir pels elements de V.

Taula de continguts

[edita] Notació

Si ω és una forma lineal i x \in V, hom sol usar la notació

\langle x, \omega \rangle\,

per expressar el valor \omega(x)\, de la forma \omega\, en l'element x\,, és a dir, \langle x, \omega \rangle = \omega(x) \,.

[edita] Objectes duals

El conjunt V^{\ast}\, de les formes lineals de l'objecte V a l'objecte K és l'estructura dual de l'objecte V^{\ast}\,. Si V és un K-mòdul o un K-espai vectorial, V^{\ast}\, és, respectivament, el K-mòdul dual o l'espai dual.

[edita] Càlcul

Com que, en tots els casos, una forma lineal no és més que un homomorfisme de V a l'objecte K, si V és un mòdul lliure finitament generat o un espai vectorial de dimensió finita, hom pot condensar tota la informació sobre una certa forma lineal ω en la matriu d'aquest homomorfisme. Si \mathcal{B} = \left\{g_1, g_2, \ldots, g_n\right\} és una base de V i prenem \left\{1\right\} com a base de K, la matriu de la forma lineal ω és

\omega \quad \longleftrightarrow \quad \begin{pmatrix} \langle g_1, \omega \rangle & \langle g_2, \omega \rangle & \ldots & \langle g_n, \omega \rangle \end{pmatrix} \,

d'una fila i n columnes. Per aquest motiu, les formes lineals a espais vectorials també se solen anomenar vectors fila en contraposició als elements de l'espai que són els vectors columna.

El càlcul del valor de la forma ω en l'element v = \lambda_1 g_1 + \lambda_2 g_2 + \cdots + \lambda_n g_n \in V es fa amb el producte habitual de matrius:

\langle v, \omega \rangle\ = \begin{pmatrix} \langle g_1, \omega \rangle & \langle g_2, \omega \rangle & \ldots & \langle g_n, \omega \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n \langle g_i, \omega \rangle \lambda_i \,


[edita] Vegeu també