Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Forma lineal - Viquip??dia

Forma lineal

De Viquip??dia

Sigui V un objecte matem??tic qualsevol amb estructura lineal sobre un altre objecte K amb estructura aritm??tica. T??picament V ??s un K-m??dul sobre un anell K, o un espai vectorial sobre un cos K. Una forma lineal ?? ??s una aplicaci??

\omega: V \longrightarrow K \,

de l'objecte V a l'objecte K que compleix el requeriment de linealitat:


\omega(\lambda x + \mu y) = \lambda \omega(x) + \mu \omega(y) \,,\quad x, y \in V \,,\quad \lambda, \mu \in K \,

Si V ??s un espai vectorial, les formes lineals a V se solen anomenar tamb?? covectors, en contraposici?? al nom de vectors que hom fa servir pels elements de V.

Taula de continguts

[edita] Notaci??

Si ?? ??s una forma lineal i x \in V, hom sol usar la notaci??

\langle x, \omega \rangle\,

per expressar el valor \omega(x)\, de la forma \omega\, en l'element x\,, ??s a dir, \langle x, \omega \rangle = \omega(x) \,.

[edita] Objectes duals

El conjunt V^{\ast}\, de les formes lineals de l'objecte V a l'objecte K ??s l'estructura dual de l'objecte V^{\ast}\,. Si V ??s un K-m??dul o un K-espai vectorial, V^{\ast}\, ??s, respectivament, el K-m??dul dual o l'espai dual.

[edita] C??lcul

Com que, en tots els casos, una forma lineal no ??s m??s que un homomorfisme de V a l'objecte K, si V ??s un m??dul lliure finitament generat o un espai vectorial de dimensi?? finita, hom pot condensar tota la informaci?? sobre una certa forma lineal ?? en la matriu d'aquest homomorfisme. Si \mathcal{B} = \left\{g_1, g_2, \ldots, g_n\right\} ??s una base de V i prenem \left\{1\right\} com a base de K, la matriu de la forma lineal ?? ??s

\omega \quad \longleftrightarrow \quad \begin{pmatrix} \langle g_1, \omega \rangle & \langle g_2, \omega \rangle & \ldots & \langle g_n, \omega \rangle \end{pmatrix} \,

d'una fila i n columnes. Per aquest motiu, les formes lineals a espais vectorials tamb?? se solen anomenar vectors fila en contraposici?? als elements de l'espai que s??n els vectors columna.

El c??lcul del valor de la forma ?? en l'element v = \lambda_1 g_1 + \lambda_2 g_2 + \cdots + \lambda_n g_n \in V es fa amb el producte habitual de matrius:

\langle v, \omega \rangle\ = \begin{pmatrix} \langle g_1, \omega \rangle & \langle g_2, \omega \rangle & \ldots & \langle g_n, \omega \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n \langle g_i, \omega \rangle \lambda_i \,


[edita] Vegeu tamb??