Mòdul

De Viquipèdia

Un A-mòdul és una estructura algebraica que involucra un anell A i un grup abelià. Es tracta d'una generalització de l'estructura d'espai vectorial en la què el cos d'escalars es restringeix a un anell.

Taula de continguts

1 A-mòduls per l'esquerra
2 A-mòduls per la dreta
3 A-mòduls bilàters
4 Exemples

[edita] A-mòduls per l'esquerra

Sigui $A\,$ un anell i $M\,$ un grup abelià. El grup $M\,$ té estructura de $A$ -mòdul per l'esquerra si l'anell $A\,$ opera linealment per l'esquerra sobre els elements de $M\,$ , és a dir, si hi ha una operació externa de $A\,$ sobre $M\,$ :

$\begin{matrix} A \times M \longrightarrow M \\ (\lambda, x) \longmapsto \lambda x \end{matrix}\,$

amb les condicions de linealitat

$\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y \,$

$(\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x \,$

$(\lambda \mu) x = \lambda (\mu x)\,$

per a $\lambda, \mu \in A$ i $x, y \in M$ . Si, a més, l'anell té unitat, es demana que

$1 x = x\,$

[edita] A-mòduls per la dreta

Si l'operació externa és per la dreta,

$\begin{matrix} M \times A \longrightarrow M \\ (x, \lambda) \longmapsto x \lambda \end{matrix}\,$

amb les corresponents condicions de linealitat:

$(x + y) \lambda = x \lambda + y \lambda \,$

$x (\lambda + \mu) = x \lambda + x \mu \,$

$x (\lambda \mu) = (x \lambda) \mu \,$

aleshores es tracta d'un $A$ -mòdul per la dreta.

[edita] A-mòduls bilàters

Si l'anell $A$ és conmutatiu, aleshores és possible la identificació $λ x = x λ$ , perquè les condicions $(\lambda \mu) x = \lambda (\mu x)\,$ i $x (\lambda \mu) = (x \lambda) \mu \,$ ja no són contradictòries. Aleshores $M$ té estructura de $A$ -mòdul bilàter o, simplement, d' $A$ -mòdul. El costum, però, és d'escriure'n les propietats i els càlculs com si es tractés d'un $A$ -mòdul per l'esquerra.

[edita] Exemples

Si $A$ és un anell, ell mateix es pot considerar com a $A$ -mòdul de manera natural:

$\begin{matrix} A \times A \longrightarrow A \\ (x, y) \longmapsto xy \end{matrix}\,$

Els grups conmutatius són $\mathbb{Z}$ -mòduls. En efecte, si $G$ és un grup conmutatiu (notació aditiva) i $n \in \mathbb{Z}$ , l'operació externa de $\mathbb{Z}$ sobre $G$ donada per:

$\begin{matrix} \mathbb{Z} \times G \longrightarrow G \\ (n, g) \longmapsto \begin{cases} \overbrace{ g + g + \cdots + g }^{n}, \mbox{ si } n > 0 \\ 0, \mbox{ si } n = 0 \\ -(\overbrace{ g + g + \cdots + g }^{-n}), \mbox{ si } n < 0 \end{cases} \end{matrix}\,$