Mòdul lliure

De Viquipèdia

Si a l'estructura d'espai vectorial hom substitueix el cos d'escalars per un anell, l'estructura obtinguda és la de mòdul. Naturalment, moltes de les propietats es perden en aquest canvi i l'estructura de mòdul lliure és la que més s'acosta a la d'espai vectorial. Resulta significatiu que, per definir-la, només calgui reproduir el fet que qualsevol homomorfisme d'espais vectorials queda determinat quan se'n coneixen les imatges dels elements d'una base.

Posem això en una notació adequada: si $M\,$ i $N \,$ són espais vectorials i $\mathcal{B}$ és una base de $M$ , una aplicació $j: \mathcal{B} \longrightarrow N \,$ informa quant a quina és la imatge de cada element de la base $\mathcal{B}$ de $M$ i només d'això. Però aleshores, ha quedat perfectament determinat un homomorfisme $f: M \longrightarrow N \,$ de manera que si $i: \mathcal{B} \longrightarrow M \,$ és la injecció natural, el següent diagrama

és conmutatiu. La definició del $A$ -mòdul lliure sobre el conjunt de generadors explota aquest fet exhaustivament.

[edita] Definició

Siguin $A$ un anell conmutatiu amb unitat i $S$ un conjunt. El $A$ -mòdul lliure sobre el conjunt de generadors $S$ , denotat $F S$ , és l'únic $A$ -mòdul provist d'una aplicació $i: S \longrightarrow F_{S}$ que compleix que, per qualsevol altre $A$ -mòdul $M$ i qualsevol aplicació $f: S \longrightarrow M$ , hi ha un únic homomorfisme de mòduls, $\tilde{f}: F_{S} \longrightarrow M$ que fa que el següent diagrama

sigui conmutatiu, això és, que $f = \tilde{f} \circ i \,$ .

[edita] Unicitat

Comencem per veure que, si $h: F_{S} \longrightarrow F_{S} \,$ és un homomorfisme de mòduls que fa $h \circ i = i \,$ , aleshores $h$ és la identitat. En efecte, en el diagrama de la dreta

la conmutativitat és òbvia i la unicitat establerta per la definició per a $\tilde{i} = h \,$ del diagrama de l'esquerra obliga a que $\tilde{i} = h = \mbox{Id}_{F_{S}} \,$ .

Sigui ara $\left(F'_{S}, i'\right) \,$ un altre mòdul lliure sobre el conjunt de generadors $S$ . Tenim els següents diagrames conmutatius:

o sigui,

$i' = \tilde{i'} \circ i \,, \qquad i = \tilde{i} \circ i' \,$

que, per substitució, dóna

$i' = \tilde{i'} \circ \tilde{i} \circ i' = (\tilde{i'} \circ \tilde{i}) \circ i'\,, \qquad i = \tilde{i} \circ \tilde{i'} \circ i = (\tilde{i} \circ \tilde{i'}) \circ i \,$

Ara bé, segons la observació inicial, ha de ser

$\tilde{i'} \circ \tilde{i} = \mbox{Id}_{F'_{S}} \,,\qquad \tilde{i} \circ \tilde{i'} = \mbox{Id}_{F_{S}} \,$

i, per tant, $\tilde{i}$ i $\tilde{i'}$ són inverses l'una de l'altra i, en conseqüència, els dos mòduls lliures, $F S$ i $F' S$ són isomorfs. A més, per la condició d'unicitat, no hi ha cap altre isomorfisme que respecti les aplicacions $i$ i $i'$ : tenim, doncs, que aquest isomorfisme és únic.

[edita] Generadors. Bases

El conjunt $i(S) \,$ genera el mòdul lliure $F S$ , això és, qualsevol submòdul $M \subset F_{S} \,$ que contingui $i(S) \,$ és exactament igual a $F S$ . A més, el conjunt $i(S) \,$ és lliure, és a dir, els seus elements són linealment independents.

Per veure-ho, considerem les aplicacions

$\begin{matrix} f: S \longrightarrow F_{S}/M &\\ f(s) = 0 \,,& \forall s \in S \end{matrix} \qquad\qquad \begin{matrix} \zeta: F_{S} \longrightarrow F_{S}/M &\\ \zeta(\varphi) = 0 \,, & \forall \varphi \in F_{S} \end{matrix} \,$

i la projecció canònica $\pi: F_{S} \longrightarrow F_{S}/M \,$ . Aleshores, els dos diagrames

són òbviament conmutatius i, de la unicitat, en resulta $\pi = \zeta \,$ , és a dir, que la projecció canònica és nula i, per tant, que $M = F_{S} \,$ .

La independència lineal dels elements de $i(S) \,$ es pot establir així: per a un element determinat $s_{0} \in S \,$ , considerem l'aplicació

$f: S \longrightarrow A \,$

$f(s) = \begin{cases} 0 \,, \mbox{ si } s \neq s_{0} \\ 1 \,, \mbox{ si } s = s_{0} \\ \end{cases} \,$

En considerar l'anell $A \,$ com a $A$ -mòdul, hi ha el morfisme induït al mòdul lliure $\tilde{f}: F_{S} \longrightarrow A \,$ que fa $f = \tilde{f} \circ i \,$ . Prenem ara qualsevol suma finita

$\sum_{s \in S} a_{s} i(s) = 0$

Tenim:

$0 = \tilde{f}(0) = \tilde{f}\left(\sum_{s \in S} a_{s} i(s)\right) = \sum_{s \in S} a_{s} \tilde{f}\left(i(s)\right) = \sum_{s \in S} a_{s} f(s) = a_{s_{0}} f\left(s_{0}\right) = a_{s_{0}}$

i, com que això s'esdevé per qualsevol índex $s_{0} \in S \,$ , resulta que $a_{s} = 0 \,, \forall s \in S$ i la independència lineal queda demostrada. Aleshores, $i(S) \,$ és una base del mòdul lliure $F S$ .

Inversament, tot $A$ -mòdul $M \,$ provist d'una base $\mathcal{B} \,$ , és a dir, d'un conjunt de generadors lliure, és un mòdul lliure sobre aquest conjunt de generadors. En efecte, primer definim l'aplicació

$i: \mathcal{B} \longrightarrow M$

$i (b) = b$

i ara, si $N \,$ és un altre $A$ -mòdul i $f: \mathcal{B} \longrightarrow N \,$ és una aplicació qualsevol de $\mathcal{B}$ a $N$ , l'aplicació

$\tilde{f}: M \longrightarrow M$

$\tilde{f}(\varphi) = \tilde{f}\left(\sum_{b \in \mathcal{B}} a_{b} b \right) = \sum_{b \in \mathcal{B}} a_{b} f(b)$

és, trivialment, un homomorfisme de $M \,$ a $N \,$ i el següent diagrama

és conmutatiu.

En particular, si l'anell $A$ és un cos, aleshores $M$ és un espai vectorial sobre $A$ i, com a tal, té almenys una base. En conseqüència, tots els espais vectorials són lliures sobre cadascuna de les seves bases.

En realitat, allò que descriu aquest apartat és que un homomorfisme entre $A$ -mòduls, el domini del qual és lliure, queda determinat per les imatges dels elements d'una base qualsevol del domini.

[edita] A-mòduls lliures de generació finita

Si $S \,$ és un conjunt finit, el $A$ -mòdul lliure $F_{S} \,$ es diu de generació finita o finitament generat. Hom pot considerar, sense inconvenient, substituir el conjunt $S$ , de $n$ elements, pel conjunt finit

$\left\{1, 2, \ldots, n\right\} \,$

Aleshores, $F_{S} \,$ se sol denotar per $A^{n} \,$ , tot expressant que el mòdul lliure sobre el conjunt $\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$ no és altra cosa que el producte directe de $n \,$ exemplars de l'anell $A \,$ , els elements en són $n$ -tuples d'elements de l'anell, amb la suma de $n$ -tuples i la multiplicació per elements de l'anell en la forma usual.

[edita] Matrius

Si $A^{n} \,$ és l' $A$ -mòdul lliure amb generadors $\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$ , i $A^{m} \,$ és un altre mòdul lliure, una aplicació $f: \left\{1, 2, \ldots, n\right\} \longrightarrow A^{m}$ determina un únic homomorfisme $\tilde{f}: A^{n} \longrightarrow A^{m} \,$ entre ambdós mòduls. La descripció de l'aplicació $f \,$ se sol fer mitjançant una matriu de $m \,$ files i $n \,$ columnes,

$\begin{pmatrix} a_{i,j} \end{pmatrix} \,,\quad i = 1, \ldots, m \,,\quad j = 1, \ldots, n \,$

d'elements de l'anell $A$ de manera que la columna $j$ conté l'expressió de $f(j) \in A^{m}$ en alguna base d'aquest últim mòdul. La matriu, doncs, determina l'homomorfime $\tilde{f} \,$ de manera unívoca.

En conseqüència, l'àlgebra de les matrius $m \times n \,$ d'elements de l'anell $A$ és isomorfa a l'àlgebra dels homomorfismes de $A n$ a $A m$ .

[edita] Existència

Construirem ara efectivament el $A$ -mòdul lliure sobre un conjunt de generadors $S$ . El conjunt $F s$ és el conjunt de totes les funcions $\varphi: S \longrightarrow A \,$ que prenen el valor $0 \in A \,$ excepte en un nombre finit d'elements de $S$ . Clarament, les operacions

$\left(\varphi + \psi\right)(s) = \varphi(s) + \psi(s) \,,\qquad \left(a \varphi\right)(s) = a \left(\varphi(s)\right) \,,\qquad \varphi, \psi \in F_{S} \,,\quad s \in S \,,\quad a \in A \,$

fan de $F s$ un $A$ -mòdul.

Però l'aplicació $i: S \longrightarrow F_{S}$ definida per

$i(s)(t) = \begin{cases} 0 \,, \mbox{ si } s \neq t \\ 1 \,, \mbox{ si } s = t \\ \end{cases} \qquad s, t \in S \,$

fa de $F s$ el $A$ -mòdul lliure sobre un conjunt de generadors $S$ . En efecte, sigui $f: S \longrightarrow M \,$ una aplicació del conjunt $S \,$ sobre un cert $A$ -mòdul $M \,$ . L'aplicació

$\tilde{f}: F_{S} \longrightarrow M \,$

$\tilde{f}(\varphi) = \sum_{s \in S} \varphi(s) f(s)$

és un morfisme d' $A$ -mòduls perquè

$\tilde{f}(\varphi + \psi) = \sum_{s \in S} \left(\varphi + \psi\right)(s) f(s) = \sum_{s \in S} \left(\varphi(s) + \psi(s)\right) f(s) = \sum_{s \in S} \varphi(s) f(s) + \sum_{s \in S} \psi(s) f(s) = \tilde{f}(\varphi) + \tilde{f}(\psi)$

$\tilde{f}(a \varphi) = \sum_{s \in S} \left(a \varphi(s)\right) f(s) = \sum_{s \in S} a \varphi(s) f(s) = a \sum_{s \in S} \varphi(s) f(s) = a \tilde{f}(\varphi)$

i, si $\tilde{f'}: F_{S} \longleftrightarrow M \,$ és un altre morfisme que fa $\tilde{f'} \circ i = f \,$ , aleshores, per a $\varphi \in F_{S} \,$ , com que $i(S) \,$ genera $F S$ ,

$\varphi = \sum_{s \in S} a_{s} i(s)$

$\tilde{f'}\left(\varphi\right) = \tilde{f'}\left(\sum_{s \in S} a_{s} i(s)\right) = \sum_{s \in S} a_{s} \tilde{f'}(i(s)) = \sum_{s \in S} a_{s} f(s) = \sum_{s \in S} a_{s} \tilde{f}(i(s)) = \tilde{f}\left(\sum_{s \in S} a_{s} i(s)\right) = \tilde{f}\left(\varphi\right)$