On Amazon.it: https://www.amazon.it/Complete-Concordances-James-Bible-Azzur/dp/B0F1V2T1GJ/


Notació de Leibniz - Viquipèdia

Notació de Leibniz

De Viquipèdia

En càlcul, la notació de Leibniz, dita així en honor del filòsof i matemàtic Alemany del segle XIX Gottfried Wilhelm Leibniz, va començar amb la utilització d’expressions com dx i dy per a representat increments "infinitament petits" (o infinitesimals) de les quantitats x i y, igual com Δx i Δy representen increments finits de x i de y respectivament. Segons Leibniz, la derivada de y respecte de x, la qual més tard va arribar a ser vista com

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x},

Era el quocient d’un increment infinitesimal de y entre un increment infinitesimal de x. Així si

y=f(x) \!\

Llavors

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f'(x),

On l’expresió de la dreta és la notació de Lagrange de la derivada de f al punt x.

De forma semblant, tot i que ara els matemàtics normalment veuen una integral

\int f(x)\,\mathrm dx

Com a un límit

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{i} f(x_i)\,\Delta x,

Leibniz la veia com la suma (el signe integral indicant sumatori) de un nombre infinit de quantitats infinitesimals f(x) dx.

Un avantatge del punt de vista de Leibniz és que és compatibla amb l’anàlisi dimensional . Per exemple, en la notació de Leibniz, la derivada segona és:

\frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2}=f''(x)

I té les mateixes dimansions que \frac{y}{x^2}.[1]

Taula de continguts

[edita] Història

El desenvolupament de The Newton-Leibniz del càlcul infinitesimal es va presentar al segle XIIIX. Al segle XIX, el matemàtics varen deixar de prendre la notació de Leibniz's per a les derivades i les integrals d’una forma literal. Es a dir, els matemàtics varen veure que el concepte de infinitesimals contenien contradiccions lògiques en el seu desenvolupament. Uns quants matemàtics del segle XIX (Cauchy, Weierstrass i altres) varen trobar formes lògicament rigoroses de tractar les derivades i les integrals sense utilitzar infinitesimals, empraven límits tal com s’ha expressat més amunt. Tot i així la notació de Leibniz va continuar sent utilitzada de forma generalitzada. Tot i que la notació no havia de ser presa literalment, era més simple que les alternatives quant es feia servir la tècnica de la separació de variables en la resolució d’equacions diferencials. En aplicacions físiques per exemple es pot fer referència a f(x) com a mesurada en metres per segon i a dx en segons, de forma que f(x) dx resulta en metres, així com el valor de la seva integral definida. D’aquesta forma la notació de Leibniz resulta en harmonia amb l’anàlisi dimensional.

A les dècades del 1950 i del 1960, Abraham Robinson va presentar formes de tractar els infinitesimals amb rigor lògic i formal, i va reescriure el càlcul des de aquest punt de vista.

Però els mètodes de Robinson encara no són emprats per la majoria dels matemàtics. (Un matemàtic, Jerome Keisler, ha escrit un llibre de text per a un curs de primer any de càlcul seguint el punt de vista den Robinson.)

[edita] Notació de Leibniz per a la derivada

A la notació de Leibniz per a la derivada, la derivada de la funció f(x) s’escriu:

\frac{\mathrm{d}\bigl(f(x)\bigr)}{\mathrm{d}x}

Si es té una variable que representa una funció, per exemple s’estableix

y = f(x),

Llavors es pot escriure la derivada com a:

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

Emprant la Notació de Lagrange, es pot escriure:

\frac{\mathrm{d}\bigl(f(x)\bigr)}{\mathrm{d}x} = f'(x).

Emprant la Notació de Newton, es pot escriure:

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \dot{x}.

Per a derivades d’ordre superior, s’expressen tal com segueix:

\frac{\mathrm{d}^n\bigl(f(x)\bigr)}{\mathrm{d}x^n} o \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}

Indiquen la derivada nèssima de f(x) o y respectivament. Històricament, això ve del fet que, per exemple, la derivada tercera és:

\frac{\mathrm{d} \Bigl(\frac{\mathrm{d} \left( \frac{\mathrm{d} \left(f(x)\right)} {\mathrm{d}x}\right)} {\mathrm{d}x}\Bigr)} {\mathrm{d}x}

La qual es pot escriure lliurement com:

\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^3 \bigl(f(x)\bigr) =
\frac{\mathrm{d}^3}{\left(\mathrm{d}x\right)^3} \bigl(f(x)\bigr)

Ara es treuen els parèntesis i es té:

\frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}x^3}\bigl(f(x)\bigr)\ \mbox{or}\ \frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}

La regla de la cadena i la integració per substitució són especialment fàcils d’expresar aquí perquè els termes "d" es cancel·len:

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v} \cdot \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}w} \cdot \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} etc.

i:

\int y \, \mathrm{d}x = \int y \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} \, \mathrm{d}u.


[edita] Notes

  1. Fixeu-vos que \frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm d x^2} és una simplificació de \frac{\mathrm d{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}}}{\mathrm dx}, o en altres paraules el segon diferencial de y sobre el quadrat del primer diferencial de x. El denominador no és del diferencial de x2, ni tampoc és el segon diferencial de x.

[edita] Vegeu també

Notació de Newton

Static Wikipedia March 2008 on valeriodistefano.com

aa   ab   af   ak   als   am   an   ang   ar   arc   as   ast   av   ay   az   ba   bar   bat_smg   bcl   be   be_x_old   bg   bh   bi   bm   bn   bo   bpy   br   bs   bug   bxr   ca   cbk_zam   cdo   ce   ceb   ch   cho   chr   chy   co   cr   crh   cs   csb   cv   cy   da   en   eo   es   et   eu   fa   ff   fi   fiu_vro   fj   fo   fr   frp   fur   fy   ga   gd   gl   glk   gn   got   gu   gv   ha   hak   haw   he   hi   ho   hr   hsb   ht   hu   hy   hz   ia   id   ie   ig   ii   ik   ilo   io   is   it   iu   ja   jbo   jv   ka   kab   kg   ki   kj   kk   kl   km   kn   ko   kr   ks   ksh   ku   kv   kw   ky   la   lad   lb   lbe   lg   li   lij   lmo   ln   lo   lt   lv   map_bms   mg   mh   mi   mk   ml   mn   mo   mr   ms   mt   mus   my   mzn   na   nah   nap   nds   nds_nl   ne   new   ng   nl   nn   nov  

Static Wikipedia (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2007 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2006 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Static Wikipedia February 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu