Notaci?? de Leibniz

De Viquip??dia

En c??lcul, la notaci?? de Leibniz, dita aix?? en honor del fil??sof i matem??tic Alemany del segle XIX Gottfried Wilhelm Leibniz, va comen??ar amb la utilitzaci?? d???expressions com dx i dy per a representat increments "infinitament petits" (o infinitesimals) de les quantitats x i y, igual com ??x i ??y representen increments finits de x i de y respectivament. Segons Leibniz, la derivada de y respecte de x, la qual m??s tard va arribar a ser vista com

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x},$

Era el quocient d???un increment infinitesimal de y entre un increment infinitesimal de x. Aix?? si

$y=f(x) \!\$

Llavors

$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f'(x),$

On l???expresi?? de la dreta ??s la notaci?? de Lagrange de la derivada de f al punt x.

De forma semblant, tot i que ara els matem??tics normalment veuen una integral

$\int f(x)\,\mathrm dx$

Com a un l??mit

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{i} f(x_i)\,\Delta x$ ,

Leibniz la veia com la suma (el signe integral indicant sumatori) de un nombre infinit de quantitats infinitesimals f(x) dx.

Un avantatge del punt de vista de Leibniz ??s que ??s compatibla amb l???an??lisi dimensional . Per exemple, en la notaci?? de Leibniz, la derivada segona ??s:

$\frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2}=f''(x)$

I t?? les mateixes dimansions que $\frac{y}{x^2}$ .^[1]

[edita] Hist??ria

El desenvolupament de The Newton-Leibniz del c??lcul infinitesimal es va presentar al segle XIIIX. Al segle XIX, el matem??tics varen deixar de prendre la notaci?? de Leibniz's per a les derivades i les integrals d???una forma literal. Es a dir, els matem??tics varen veure que el concepte de infinitesimals contenien contradiccions l??giques en el seu desenvolupament. Uns quants matem??tics del segle XIX (Cauchy, Weierstrass i altres) varen trobar formes l??gicament rigoroses de tractar les derivades i les integrals sense utilitzar infinitesimals, empraven l??mits tal com s???ha expressat m??s amunt. Tot i aix?? la notaci?? de Leibniz va continuar sent utilitzada de forma generalitzada. Tot i que la notaci?? no havia de ser presa literalment, era m??s simple que les alternatives quant es feia servir la t??cnica de la separaci?? de variables en la resoluci?? d???equacions diferencials. En aplicacions f??siques per exemple es pot fer refer??ncia a f(x) com a mesurada en metres per segon i a dx en segons, de forma que f(x) dx resulta en metres, aix?? com el valor de la seva integral definida. D???aquesta forma la notaci?? de Leibniz resulta en harmonia amb l???an??lisi dimensional.

A les d??cades del 1950 i del 1960, Abraham Robinson va presentar formes de tractar els infinitesimals amb rigor l??gic i formal, i va reescriure el c??lcul des de aquest punt de vista.

Per?? els m??todes de Robinson encara no s??n emprats per la majoria dels matem??tics. (Un matem??tic, Jerome Keisler, ha escrit un llibre de text per a un curs de primer any de c??lcul seguint el punt de vista den Robinson.)

[edita] Notaci?? de Leibniz per a la derivada

A la notaci?? de Leibniz per a la derivada, la derivada de la funci?? f(x) s???escriu:

$\frac{\mathrm{d}\bigl(f(x)\bigr)}{\mathrm{d}x}$

Si es t?? una variable que representa una funci??, per exemple s???estableix

y = f (x),

Llavors es pot escriure la derivada com a:

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

Emprant la Notaci?? de Lagrange, es pot escriure:

$\frac{\mathrm{d}\bigl(f(x)\bigr)}{\mathrm{d}x} = f'(x).$

Emprant la Notaci?? de Newton, es pot escriure:

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \dot{x}.$

Per a derivades d???ordre superior, s???expressen tal com segueix:

$\frac{\mathrm{d}^n\bigl(f(x)\bigr)}{\mathrm{d}x^n}$ o $\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}$

Indiquen la derivada n??ssima de f(x) o y respectivament. Hist??ricament, aix?? ve del fet que, per exemple, la derivada tercera ??s:

$\frac{\mathrm{d} \Bigl(\frac{\mathrm{d} \left( \frac{\mathrm{d} \left(f(x)\right)} {\mathrm{d}x}\right)} {\mathrm{d}x}\Bigr)} {\mathrm{d}x}$

La qual es pot escriure lliurement com:

$\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^3 \bigl(f(x)\bigr) = \frac{\mathrm{d}^3}{\left(\mathrm{d}x\right)^3} \bigl(f(x)\bigr)$

Ara es treuen els par??ntesis i es t??:

$\frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}x^3}\bigl(f(x)\bigr)\ \mbox{or}\ \frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}$

La regla de la cadena i la integraci?? per substituci?? s??n especialment f??cils d???expresar aqu?? perqu?? els termes "d" es cancel??len:

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v} \cdot \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}w} \cdot \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x}$ etc.

$\int y \, \mathrm{d}x = \int y \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} \, \mathrm{d}u.$

[edita] Notes

??? Fixeu-vos que $\frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm d x^2}$ ??s una simplificaci?? de $\frac{\mathrm d{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}}}{\mathrm dx}$ , o en altres paraules el segon diferencial de y sobre el quadrat del primer diferencial de x. El denominador no ??s del diferencial de x², ni tampoc ??s el segon diferencial de x.