Integraci?? per parts

De Viquip??dia

En c??lcul, la integraci?? per parts ??s una regla que transforma la integral d'un producte de funcions en un altre integral que s???espera que sigui m??s senzilla de resoldre. La regla sorgeix a partir de la regla del producte per a calcular derivades.

Taula de continguts

1 La regla
2 Estrat??gia
3 Exemples
4 La regla LIPTE
5 Integraci?? per parts recursiva
6 Integraci?? per parts tabular
7 Dimensions superiors
8 Regla nemot??cnica
9 Refer??ncies culturals
10 Refer??ncies
11 Enlla??os externs

[edita] La regla

Suposeu que f(x) i g(x) s??n dues funcions cont??nuament derivables. Llavors la regla de la integraci?? per parts diu que donat un interval amb extrems a, b, es t??

$\int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b f'(x) g(x)\,dx$

On emprant la notaci?? habitual

$\left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} = f(b) g(b) - f(a) g(a).$

La regla es demostra emprant la regla del producte i el teorema fonamental del c??lcul. Aix??

$f(b)g(b) - f(a)g(a)\,$	$= \int_a^b \frac{d}{dx} ( f(x) g(x) ) \, dx$
	$=\int_a^b f'(x) g(x) \, dx + \int_a^b f(x) g'(x) \, dx.$

Sovint aquesta regla s???estableix emprant integrals indefinides de la seg??ent manera

$\int f(x) g'(x)\,dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)\,dx,$

O fins i tot de forma resumida, si es fa u = f(x), v = g(x) i els diferencials du = f ???(x) dx and dv = g???(x) dx, llavors es t?? la expressi?? en que es veu m??s sovint:

$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$

Fixeu-vos que la integral original cont?? la derivada de g; per tant, per poder aplicar la regla, s???ha d???haver trobat la funci?? primitiva g, i llavors la integral qu en resulta ???g f??? dx s???ha de calcular.

Tamb?? es pot formular una regla an??loga pel cas de successions, anomenada sumatori per parts.

Una notaci?? alternativa que t?? l???avantatge de que s???identifiquen els factors de la expressi?? original f i g, per?? que t?? l???inconvenient de presentar una integral dins d???un altre, ??s

$\int f g\,dx = f \int g\,dx - \int \left ( f' \int g\,dx \right )\,dx.$

Aquesta f??rmula ??s v??lida sempre que f sigui cont??nuament derivable i g sigui cont??nua.

Hi ha formulacions m??s generals de la integraci?? per parts per la integral de Riemann-Stieltjes i la integral de Lebesgue-Stieltjes.

Nota: Formes m??s complicades com la que es presenta tot seguit tamb?? s??n v??lides:

$\int u v\,dw = u v w - \int u w\,dv - \int v w\,du.$

[edita] Estrat??gia

La integraci?? per parts ??s un proc??s heur??stic m??s que no pas un proc??s purament mec??nic per a resoldre integrals; donada una funci?? a integrar, l???estrat??gia t??pica ??s de separar-la cuidadosament en un producte de dues funcions f(x)g(x) tal que la integral obtinguda per la f??rmula de integraci?? per parts sigui m??s f??cil d???avaluar que la integral original. L'expressi?? seg??ent ??s ??til per il???lustrar la millor estrat??gia a seguir:

$\int f g\,dx = f \int g\,dx - \int \left ( f' \int g\,dx \right )\,dx.$

Fixeu-vos que el cant?? dret, f s???ha de derivar i g s???ha de integrar; en conseq????ncia pot ser ??til de triar com a f una funci?? que se simplifica quan ??s derivada, i/o triar com a g una funci?? que se simplifica quan ??s integrada. Com a exemple senzill, considereu:

$\int \frac{\ln x}{x^2}\,dx$

Com que $ln x$ quan es deriva se simplifica a $1 / x$ , es fa que aquesta part sigui f; com que $1 / x 2$ quan s???integra se simplifica a $??? 1 / x$ , es fa que aquesta part sigui g. Ara la f??rmula porta a:

$\int \frac{\ln x}{x^2}\,dx = -\frac{\ln x}{x} - \int (1/x)(-1/x)\,dx.$

La integral que queda $??? 1 / x 2$ es pot resoldre per la regla del producte i ??s $1 / x$ .

De forma alternativa, es poden triar f i g de tal forma que el producte $f'(\int g\,dx)$ se simplifiqui degut a que es cancel???len termes. Per exemple, Suposeu que es desitja integrar:

$\int \frac{\ln(\sin x)}{(\cos x)^2}\,dx$

Si es tria $f (x) = ln(sin x)$ i $g (x) = 1 / (cos x) 2$ , llavors en derivar f resulta $1 / tan x$ emprant la regla de la cadena i en integrar g dona $tan x$ ; per tant la f??rmula dona:

$\int \frac{\ln(\sin x)}{(\cos x)^2}\,dx = \ln(\sin x)\tan x - \int (1/\tan x)(\tan x)\,dx.$

L???integrand se simplifica i dona 1. Per a trobar una combinaci?? que se simplifiqui normalment requereix un proc??s d???experimentaci?? a base de prova i error.

En algunes aplicacions, no cal assegurar-se que la integral produ??da per la f??rmula de la integraci?? per parts t?? una forma m??s f??cil de integrar; per exemple, en c??lcul num??ric, n???hi ha prou si t?? una magnitud tan redu??da que l???error que aporta ??s prou petit. En els exemples de m??s avall es presenten algunes altres t??cniques especials.

[edita] Exemples

Per a calcular:

$\int x\cos (x) \,dx$

Es fa:

u = x, du = dx,

dv = cos(x) dx, v = sin(x).

Llavors:

$\begin{align} \int x\cos (x) \,dx & = \int u \,dv \\ & = uv - \int v \,du \\ & = x\sin (x) - \int \sin (x) \,dx \\ & = x\sin (x) + \cos (x) + C \end{align}$

On C ??s una constant d???integraci?? arbitr??ria.

A base d???aplicar repetidament la integraci?? per parts, integrals com

$\int x^{3} \sin (x) \,dx \quad \mbox{and} \quad \int x^{2} e^{x} \,dx$

Es poden calcular de la mateixa forma: cada aplicaci?? de la regla disminueix la pot??ncia dex en una unitat.

Un exemple interessant que es troba sovint ??s:

$\int e^{x} \cos (x) \,dx$

On, de forma sorprenent, al final, no cal fer la integral.

Aquest exemple empra la integraci?? per parts dos cops. Primer es fa:

u = cos(x); thus du = ???sin(x) dx

dv = e^x dx; thus v = e^x

Llavors:

$\int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} \cos (x) + \int e^{x} \sin (x) \,dx$

Ara, per resoldre la integral que queda, es fa servir la integraci?? per parts altre cop, amb:

u = sin(x); du = cos(x) dx

v = e^x; dv = e^x dx

Llavors:

$\int e^{x} \sin (x) \,dx$

$= e^{x} \sin (x) - \int e^{x} \cos (x) \,dx$

Ficant-les juntes, es t??

$\int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} \cos (x) + e^x \sin (x) - \int e^{x} \cos (x) \,dx$

Fixeu-vos que la mateixa integral apareix als dos cantons de l'equaci??. Passant-la a l???esquerra es t??:

$2 \int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} ( \sin (x) + \cos (x) ) + C$

$\int e^{x} \cos (x) \,dx = {e^{x} ( \sin (x) + \cos (x) ) \over 2} + C'$

On, altre cop, C (i C' = C/2) ??s una constant d???integraci?? arbitr??ria.

Una estrat??gia similar es fa servir per trobar la integral del cub de la secant.

Hi ha dos exemples ben coneguts on la integraci?? per parts s???aplica a una funci?? expresada com el producte de 1 per la mateixa funci??. Aix?? funciona si la derivada de la funci?? ??s coneguda i la integral de la funci?? multiplicada per x tamb?? ??s coneguda.

El primer exemple ??s ??? ln(x) dx. Aix?? s???escriu com:

$\int \ln (x) \cdot 1 \,dx$

Sia:

u = ln(x); du = 1/x dx

v = x; dv = 1??dx

Llavors:

$\int \ln (x) \,dx$	$= x \ln (x) - \int \frac{x}{x} \,dx$
	$= x \ln (x) - \int 1 \,dx$

$\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - {x} + {C}$

$\int \ln (x) \,dx = x ( \ln (x) - 1 ) + C$

On, C ??s altre cop la constant d???integraci?? arbitr??ria

El segon exemple ??s ??? arctan(x) dx, on arctan(x) ??s la inversa de la tangent. Es reescriu com:

$\int \arctan (x) \cdot 1 \,dx$

Ara es fa:

u = arctan(x); du = 1/(1+x²) dx

v = x; dv = 1??dx

Llavors:

$\int \arctan (x) \,dx$	$= x \arctan (x) - \int \frac{x}{1 + x^2} \,dx$
	$= x \arctan (x) - {1 \over 2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C$

Emprant una combinaci?? del m??tode invers de la regla de la cadena i del logaritme natural.

Aqu?? hi ha un exemple divertit:

$\int x dx = x^2 - \int x dx$

$2 \int x dx = x^2$

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C$

[edita] La regla LIPTE

Una regla heur??stica per triar quina de les dues funcions ha de ser u i quina ha de ser dv ??s triar u com la funci?? que pertanyi al tipus que apareix primer en aquesta llista:

L: Funcions logar??tmiques: ln x,

log 2 (x)

, etc.

I: Funcions inverses de les trigonom??triques: arctan x, arcsec x, etc.

P: Funcions polin??miques:

x 2

3 x 50

, etc.

T: Funcions trigonom??triques: sin x, tan x, etc.

E: Funcions exponencials:

e x

13 x

, etc.

Lllavors triar com dv l???altre funci??. La llista es pot recordar amb el mot mnemot??cnic LIPTE. El motiu pel que acostuma a funcionar ??s perqu?? les funcions que surten mes a baix de la llista tenen primitives m??s f??cils de calcular que no pas les que surten m??s amunt.

Per il???lustrar la regla, considereu la integral

$\int x\cos x \,dx.\,$

Seguint la regla LIPTE, u = x i dv = cos x dx , llavors du = dx i v = sin x , el que fa que la integral esdevingui

$x\sin x - \int 1\sin x \,dx,\,$

Que resulta

$x\sin x + \cos x+C. \,$

En general, es tracta de triar u i dv tals que du sigui m??s senzilla que u i dv sigui f??cil d???integrar. Si en coptes de fer-ho com s???ha fet, s???hagu??s triat cos x com a u i x com a dv, s???hauria obtingut la integral

$\frac{x^2}2\cos x + \int \frac{x^2}2\sin x\,dx\,\,$

La qual, despr??s d???aplicar de forma recursiva la f??rmula d'integraci?? per parts, clarament hauria resultat un successi?? infinita que no portaria en lloc.

Tot i que aquesta regla ??s ??til hi ha excepcions. Una alternativa habitual ??s considerar les funcions el l???ordre "ILPTE". Tamb?? en alguns casos, els termes polin??mics s???han de partir de formes no trivials. Per exemple, per integrar

$\int x^3e^{x^2}\,dx,$

Es podria establir

$u=x^2,\quad dv=xe^{x^2}\,dx.$

Aix?? resulta en

$\int x^3e^{x^2}\,dx=\frac12e^{x^2}(x^2-1)+C.$

[edita] Integraci?? per parts recursiva

La integraci?? per parts sovint es pot aplicar de forma recursiva sobre el terme $\int v\,du$ i s???obt?? la seg??ent f??rmula

$\int uv = u v_1 - u' v_2 + u'' v_3 - \cdots + (-1)^{n}\ u^{(n)} \ v_{n+1}$

Aqu??, $u'$ ??s la primera derivada de $u$ i $u''$ ??s la segona derivada de $u$ . Successivament, $u (n)$ ??s una notaci?? per a indicar la seva derivada n??ssima (respecte de la variable de la qual s??n funcions u i v).

$v_{n+1}(x)=\int\! \int\ \cdots \int v \ (dx)^{n+1}.$

Hi ha n + 1 integrals.

La f??rmula anterior ??s convenient perqu?? pot ser avaluada a base d???anar derivant el primer terme i anar integrant el segon (invertint el signe cada cop), comen??ant amb $u v 1$ . Aix?? ??s molt ??til especialment en casos on $u (k + 1)$ esdev?? zero per algun k + 1. Aix??, l'avaluaci?? de la integral pot aturar-se un cop s???arriba al terme $u (k)$ .

[edita] Integraci?? per parts tabular

Tot i que la definici?? recursiva anterior ??s correcta, sovint ??s dif??cil de recordar i d???aplicar. Una representaci?? visual d???aquest proc??s molt m??s f??cil ??s el que es diu el "m??tode tabular". Aquest m??tode funciona millor quan una de les dues funcions del producte ??s un polinomi, i per tant, despr??s de derivar-lo diversos cops s???obt?? zero. Tamb?? es pot estendre per treballar amb funcions que es repetiran a si mateixes.

Per exemple, considereu la integral

$\int x^3 \cos x \,dx.$

Sia $u = x 3 .$ Es comen??a amb aquesta funci?? i es llisten en una columna les subseq??ents derivades fins que s???arriba a zero. En segon lloc es comen??a amb la funci?? v (en aquest cas $cos x$ ) i es llista cada integral de v fins que la mida de la columna ??s el mateix que el de u. El resultat hauria d???apar??ixer tal com segueix.

Derivades de u (Columna A)	Integrals de v (Columna B)
$x^3 \,$	$\cos x \,$
$3x^2 \,$	$\sin x \,$
$6x \,$	$-\cos x \,$
$6 \,$	$-\sin x \,$
$0 \,$	$\cos x \,$

Ara simplement cal aparellar el primer element de la columna A amb el segon element de la columna B, el 2on element de la columna A amb el 3cer element de la columna B, etc... amb els signes alternant (comen??ant amb el signe positiu). Es repeteix fins que ??s impossible de continuar aparellant. El resultat ??s el seg??ent (fixeu-vos en la alternan??a de signes en cada terme):

$(+)(x^3)(\sin x) + (-)(3x^2)(-\cos x) + (+)(6x)(-\sin x) + (-)(6)(\cos x) + C \,.$

Simplificant-ho porta al resultat:

$x^3\sin x + 3x^2\cos x - 6x\sin x - 6\cos x + C. \,$

Entenent adequadament el m??tode tabular es pot estendre.

$\int e^x \cos x \,dx.$

Derivatives of u (Column A)	Integrals of v (Column B)
$e^x \,$	$\cos x \,$
$e^x \,$	$\sin x \,$
$e^x \,$	$-\cos x \,$

En aquest cas a l?????ltim pas cal integrar el producte de les dues caselles finals obtenint:

$\int e^x \cos x \,dx = e^x\sin x + e^x\cos x - \int e^x \cos x \,dx$

La qual es pot resoldre a??llant la integral en un cant?? de la igualtat.

[edita] Dimensions superiors

La f??rmula d'integraci?? per parts es pot estendre a funcions de v??ries variables. En comptes d'un interval s???ha d'integrar sobre un conjunt de dimensi?? n. Tamb?? se substitueix la derivada per la derivada parcial.

De forma m??s espec??fica, suposant que ?? ??s un conjunt obert afitat de $\mathbb{R}^n$ amb una frontera derivable per trossos ?????. Si u i v s??n dues funcions cont??nuament derivables en la clausura de ??, llavors la f??rmula per la integraci?? per parts ??s

$\int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial x_i} v \,dx = \int_{\partial\Omega} u v \, \nu_i \,d\sigma - \int_{\Omega} u \frac{\partial v}{\partial x_i} \, dx$

On $\mathbf{\nu}$ ??s el vector sortint, normal a la superficie ?????, ??_i ??s el seu component i-??ssim, i i varia des de 1 a n. Substituint v de la f??rmula anterior per v_i i sumant per tot i s???obt?? la f??rmula vectorial

$\int_{\Omega} \nabla u \cdot \mathbf{v}\, dx = \int_{\partial\Omega} u\, \mathbf{v}\cdot\nu\, d\sigma - \int_\Omega u\, \nabla\cdot \mathbf{v}\, dx$

on v ??s una funci?? vectorial amb components v₁, ..., v_n.

Fent u igual a la funci?? constant 1 a la f??rmula anterior d??na el teorema de la diverg??ncia. Per $\mathbf{v}=\nabla v$ where $v\in C^2(\bar{\Omega})$ , s???obt??

$\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v\, dx = \int_{\partial\Omega} u\, \nabla v\cdot\nu\, d\sigma - \int_\Omega u\, \Delta v\, dx$

Que ??s la primera identitat de Green.

Els requisits de regularitat del teorema es poden relaxar. Per exemple, la frontera ????? nom??s cal que sigui Lipschitz continua. En la primera f??rmula de dalt nom??s cal que $u,v\in H^1(\Omega)$ (on H¹ ??s un espai de Sobolev); les altres f??rmules tenen requeriments relaxats semblants.

Per refer??ncia, consulteu l???ap??ndix C de Evans o el notes de matem??tiques aplicades de Arbogast i Bona.

[edita] Regla nemot??cnica

Una forma de recordar la f??rmula general ??s la frase nemot??cnica: "Un Dia Veur?? Una Vaca Vestida D??Uniforme"

$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$

[edita] Refer??ncies culturals

El m??tode de la integraci?? tabular per parts apareix a la pel??l??cula de 1988 Stand and Deliver.^[1]

[edita] Refer??ncies

Evans, Lawrence C. (1998). Partial Differential Equations, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.
Arbogast, Todd; Jerry Bona (2005). Methods of Applied Mathematics.
Horowitz, David (September 1990). ??Tabular Integration by Parts??. The College Mathematics Journal 21 (4): 307-311.

??? Horowitz, David (September 1990). ??Tabular integration by parts??. The College Mathematics Journal 21: 307???311.

[edita] Enlla??os externs

Integraci??

C??lcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integraci?? simb??lica ?? Integral de Gau?? ?? Integral no elemental ?? Constant d???integraci?? ?? Algorisme de Risch ?? Funcions elementals ?? Teorema de Fubini ?? M??tode d'exhausti??
De fraccions racionals ?? Per canvi de variable ?? Per parts ?? Per substituci?? trigonom??trica ?? Per s??ries ?? Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals ?? Integrals de funcions irracionals ?? Integrals de funcions exponencials ?? Integrals de funcions logar??tmiques ?? Integrals de funcions trigonom??triques ?? Integrals inverses de funcions trigonom??triques ?? Integrals de funcions hiperb??liques ?? Integrals de funcions inverses de les funcions hiperb??liques
Definicions d'integraci??
Integral de Bochner ?? Integral de Darboux ?? Integral de Henstock-Kurzwe ?? Integral de Lebesgue ?? Integral de Lebesgue-Stieltjes ?? Sumatori de Riemann ?? Integral de Riemann ?? Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impr??pia ?? Integral m??ltiple ?? Integral multiplicativa ?? Integral de superf??cie ?? Integral curvil??nia ?? Teorema de Fubini
Integraci?? num??rica
M??tode de Simpson ?? M??tode trapezial ?? M??tode rectangular ?? M??tode de Romberg ?? Integraci?? de Montecarlo ?? F??rmules de Newton-Cotes ?? Sumatori de Riemann ?? Quadratura de Gauss ?? Quadratura adaptativa

Categoria: C??lcul de primitives

Integraci?? per parts

De Viquip??dia

Taula de continguts

[edita] La regla

[edita] Estrat??gia

[edita] Exemples

[edita] La regla LIPTE

[edita] Integraci?? per parts recursiva

[edita] Integraci?? per parts tabular

[edita] Dimensions superiors

[edita] Regla nemot??cnica

[edita] Refer??ncies culturals

[edita] Refer??ncies

[edita] Enlla??os externs

Views

Navegaci??

comunitat

Cerca

En altres lleng??es