[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Integració per substitució trigonomètrica - Viquipèdia

Integració per substitució trigonomètrica

De Viquipèdia

En matemàtiques, la substitució trigonomètrica és la substitució d'altres expressions per expressions trigonomètriques. Es poden fer servir les identitats trigonomètriques per simplificar integrals que contenen expressions radicals:

1-\sin^2\theta\;=\;\cos^2\theta\text{ per }\sqrt{a^2-x^2}
1+\tan^2\theta\;=\;\sec^2\theta\text{ per }\sqrt{a^2+x^2}
\sec^2\theta-1\;=\;\tan^2\theta\text{ per }\sqrt{x^2-a^2}

En l'expressió a2 − x2, la substitució de a sin(θ) per x fa possible d'emprar la identitat 1 − sin2θ = cos2θ.

En l'expressió a2 + x2, la substitució de a tan(θ) per x fa possible de fer servir la identitat tan2θ + 1 = sec2θ.

De forma similar, en x2 − a2, la substitució de a sec(θ) per x fa possible utilitzar la identitat sec2θ − 1 = tan2θ.

Taula de continguts

[edita] Exemples

[edita] Integrals que contenen a2 − x2

A la integral

\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}

Es pot emprar

x=a\sin(\theta)\ \ \mbox{per}\ \mbox{tant}\ \arcsin(x/a)=\theta,
dx=a\cos(\theta)\,d\theta,
a2 − x2 = a2 − a2sin2(θ) = a2(1 − sin2(θ)) = a2cos2(θ),

Així la integral esdevé

\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{a\cos(\theta)\,d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2(\theta)}} =\int d\theta=\theta+C=\arcsin(x/a)+C

(Fixeu-vos que el pas anterior requereix que sigui a > 0 i cos(θ) > 0; es pot triar que a sigui l'arrel quadrada positiva de a2; i imposar la restricció a θ de ser −π/2 < θ < π/2 a base d'usar la funció arcsin().)

Per a una integral definida, cal analitzar com canvien els límits d'integració. Per exemple, si x va de 0 a a/2, llavors sin(θ) va de 0 a 1/2, per tant θ va de 0 a π/6. Llavors es té

\int_0^{a/2}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} =\int_0^{\pi/6}d\theta=\frac{\pi}{6}.

(Aneu en compte al triar els límits. La integració de la secció anterior requereix que −π/2 < θ < π/2, per tant, la única possibilitat és que θ vagi de 0 a π/6. Si es descuidés aquesta restricció, es podria haver triat que θ anés de π a 5π/6, lo qual hauria donat un resultat negatiu.)

[edita] Integrals que contenen a2 + x2

A la integral

\int\frac{1}{a^2+x^2}\,dx

es pot escriure

x=a\tan(\theta)\ \ \mbox{per}\ \mbox{tant}\ \theta=\arctan(x/a),
dx=a\sec^2(\theta)\,d\theta,
a2 + x2 = a2 + a2tan2(θ) = a2(1 + tan2(θ)) = a2sec2(θ),
x / a = tan(θ),

així la integral esdevé

\int\frac{1}{a^2\sec^2(\theta)}\,a\sec^2(\theta)\,d\theta =\frac{1}{a}\int\,d\theta=\frac{\theta}{a}+C=\frac{1}{a}\arctan(x/a)+C

(donat que a > 0).

[edita] Integrals que contenen x2 − a2

integrals com

\int \frac{dx}{x^2 - a^2}

S'haurien de resoldre amb els mètodes de integració de funcions racionals en comptes de provar de resoldre-les per substitucions trigonomètriques.

La integral

\int \sqrt{x^2 - a^2}\,dx

Es pot resoldre per substitució

\begin{align} x &{}= a \sec\theta, \\ dx &{}= a \sec\theta\tan\theta\,d\theta, \\ x^2 - a^2 &{}= a^2 \tan^2\theta. \end{align}

Això inclourà la integral de la secant al cub.

[edita] Substitucions que eliminen funcions trigonomètriques

La substitució es pot fer servir per eliminar funcions trigonomètriques. Per exemple,

\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac1{\pm\sqrt{1-u^2}}f\left(u,\pm\sqrt{1-u^2}\right)\,du, \qquad \qquad u=\sin x
\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac{-1}{\pm\sqrt{1-u^2}}f\left(\pm\sqrt{1-u^2},u\right)\,du \qquad \qquad u=\cos x

(però cal anar amb compte amb els signes)

\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac2{1+u^2} f\left(\frac{2u}{1+u^2},\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)\,du \qquad \qquad u=\tan\frac x2
\int\frac{\cos x}{(1+\cos x)^3}\,dx =\int\frac2{1+u^2}\frac{\frac{1-u^2}{1+u^2}}{\left(1+\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^3}\,du
\begin{align} & {} = \frac14\int(1-u^4)\,du = \frac14\left(u-\frac15u^5\right)+C \\ \\ & {} = \frac{(1+3\cos x+\cos^2x)\sin x}{5(1+\cos x)^3}+C \end{align}

[edita] Vegeu també


Integració
\int_a^b f(x)\,dx

Integració simbòlica · Integral de Gauß · Integral no elemental · Constant d’integració · Algorisme de Risch · Funcions elementals · Teorema de Fubini · Mètode d'exhaustió
Càlcul de primitives

De fraccions racionals · Per canvi de variable · Per parts · Per substitució trigonomètrica · Per sèries · Integral de la secant al cub
Taules d'integrals

Integrals de funcions racionals · Integrals de funcions irracionals · Integrals de funcions exponencials · Integrals de funcions logarítmiques · Integrals de funcions trigonomètriques · Integrals inverses de funcions trigonomètriques · Integrals de funcions hiperbòliques · Integrals de funcions inverses de les funcions hiperbòliques
Definicions d'integració

Integral de Bochner · Integral de Darboux · Integral de Henstock-Kurzwe · Integral de Lebesgue · Integral de Lebesgue-Stieltjes · Sumatori de Riemann · Integral de Riemann · Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral

Integral impròpia · Integral múltiple · Integral multiplicativa · Integral de superfície · Integral curvilínia · Teorema de Fubini
Integració numèrica

Mètode de Simpson · Mètode trapezial · Mètode rectangular · Mètode de Romberg · Integració de Montecarlo · Fórmules de Newton-Cotes · Sumatori de Riemann · Quadratura de Gauss · Quadratura adaptativa