IntegraciÃ³ per substituciÃ³ trigonomÃ¨trica

De ViquipÃ¨dia

En matemÃ tiques, la substituciÃ³ trigonomÃ¨trica Ã©s la substituciÃ³ d'altres expressions per expressions trigonomÃ¨triques. Es poden fer servir les identitats trigonomÃ¨triques per simplificar integrals que contenen expressions radicals:

$1-\sin^2\theta\;=\;\cos^2\theta\text{ per }\sqrt{a^2-x^2}$

$1+\tan^2\theta\;=\;\sec^2\theta\text{ per }\sqrt{a^2+x^2}$

$\sec^2\theta-1\;=\;\tan^2\theta\text{ per }\sqrt{x^2-a^2}$

En l'expressiÃ³ a² âˆ’ x², la substituciÃ³ de a sin(Î¸) per x fa possible d'emprar la identitat 1 âˆ’ sin²Î¸ = cos²Î¸.

En l'expressiÃ³ a² + x², la substituciÃ³ de a tan(Î¸) per x fa possible de fer servir la identitat tan²Î¸ + 1 = sec²Î¸.

De forma similar, en x² âˆ’ a², la substituciÃ³ de a sec(Î¸) per x fa possible utilitzar la identitat sec²Î¸ âˆ’ 1 = tan²Î¸.

Taula de continguts

[amaga]

1 Exemples
2 Substitucions que eliminen funcions trigonomÃ¨triques
3 Vegeu tambÃ©

[edita] Exemples

[edita] Integrals que contenen a² âˆ’ x²

A la integral

$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$

Es pot emprar

$x=a\sin(\theta)\ \ \mbox{per}\ \mbox{tant}\ \arcsin(x/a)=\theta,$

$dx=a\cos(\theta)\,d\theta,$

a 2 âˆ’ x 2 = a 2 âˆ’ a 2 sin 2 (Î¸) = a 2 (1 âˆ’ sin 2 (Î¸)) = a 2 cos 2 (Î¸),

AixÃ la integral esdevÃ©

$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{a\cos(\theta)\,d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2(\theta)}} =\int d\theta=\theta+C=\arcsin(x/a)+C$

(Fixeu-vos que el pas anterior requereix que sigui a > 0 i cos(Î¸) > 0; es pot triar que a sigui l'arrel quadrada positiva de a²; i imposar la restricciÃ³ a Î¸ de ser âˆ’Ï€/2 < Î¸ < Ï€/2 a base d'usar la funciÃ³ arcsin().)

Per a una integral definida, cal analitzar com canvien els lÃmits d'integraciÃ³. Per exemple, si x va de 0 a a/2, llavors sin(Î¸) va de 0 a 1/2, per tant Î¸ va de 0 a Ï€/6. Llavors es tÃ©

$\int_0^{a/2}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} =\int_0^{\pi/6}d\theta=\frac{\pi}{6}.$

(Aneu en compte al triar els lÃmits. La integraciÃ³ de la secciÃ³ anterior requereix que âˆ’Ï€/2 < Î¸ < Ï€/2, per tant, la Ãºnica possibilitat Ã©s que Î¸ vagi de 0 a Ï€/6. Si es descuidÃ©s aquesta restricciÃ³, es podria haver triat que Î¸ anÃ©s de Ï€ a 5Ï€/6, lo qual hauria donat un resultat negatiu.)

[edita] Integrals que contenen a² + x²

A la integral

$\int\frac{1}{a^2+x^2}\,dx$

es pot escriure

$x=a\tan(\theta)\ \ \mbox{per}\ \mbox{tant}\ \theta=\arctan(x/a),$

$dx=a\sec^2(\theta)\,d\theta,$

a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 (Î¸) = a 2 (1 + tan 2 (Î¸)) = a 2 sec 2 (Î¸),

x / a = tan(Î¸),

aixÃ la integral esdevÃ©

$\int\frac{1}{a^2\sec^2(\theta)}\,a\sec^2(\theta)\,d\theta =\frac{1}{a}\int\,d\theta=\frac{\theta}{a}+C=\frac{1}{a}\arctan(x/a)+C$

(donat que a > 0).

[edita] Integrals que contenen x² âˆ’ a²

integrals com

$\int \frac{dx}{x^2 - a^2}$

S'haurien de resoldre amb els mÃ¨todes de integraciÃ³ de funcions racionals en comptes de provar de resoldre-les per substitucions trigonomÃ¨triques.

La integral

$\int \sqrt{x^2 - a^2}\,dx$

Es pot resoldre per substituciÃ³

$\begin{align} x &{}= a \sec\theta, \\ dx &{}= a \sec\theta\tan\theta\,d\theta, \\ x^2 - a^2 &{}= a^2 \tan^2\theta. \end{align}$

AixÃ² inclourÃ la integral de la secant al cub.

[edita] Substitucions que eliminen funcions trigonomÃ¨triques

La substituciÃ³ es pot fer servir per eliminar funcions trigonomÃ¨triques. Per exemple,

$\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac1{\pm\sqrt{1-u^2}}f\left(u,\pm\sqrt{1-u^2}\right)\,du, \qquad \qquad u=\sin x$

$\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac{-1}{\pm\sqrt{1-u^2}}f\left(\pm\sqrt{1-u^2},u\right)\,du \qquad \qquad u=\cos x$

(perÃ² cal anar amb compte amb els signes)

$\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac2{1+u^2} f\left(\frac{2u}{1+u^2},\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)\,du \qquad \qquad u=\tan\frac x2$

$\int\frac{\cos x}{(1+\cos x)^3}\,dx =\int\frac2{1+u^2}\frac{\frac{1-u^2}{1+u^2}}{\left(1+\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^3}\,du$

$\begin{align} & {} = \frac14\int(1-u^4)\,du = \frac14\left(u-\frac15u^5\right)+C \\ \\ & {} = \frac{(1+3\cos x+\cos^2x)\sin x}{5(1+\cos x)^3}+C \end{align}$

IntegraciÃ³

CÃ lcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ IntegraciÃ³ simbÃ²lica Â· Integral de GauÃŸ Â· Integral no elemental Â· Constant dâ€™integraciÃ³ Â· Algorisme de Risch Â· Funcions elementals Â· Teorema de Fubini Â· MÃ¨tode d'exhaustiÃ³
De fraccions racionals Â· Per canvi de variable Â· Per parts Â· Per substituciÃ³ trigonomÃ¨trica Â· Per sÃ¨ries Â· Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals Â· Integrals de funcions irracionals Â· Integrals de funcions exponencials Â· Integrals de funcions logarÃtmiques Â· Integrals de funcions trigonomÃ¨triques Â· Integrals inverses de funcions trigonomÃ¨triques Â· Integrals de funcions hiperbÃ²liques Â· Integrals de funcions inverses de les funcions hiperbÃ²liques
Definicions d'integraciÃ³
Integral de Bochner Â· Integral de Darboux Â· Integral de Henstock-Kurzwe Â· Integral de Lebesgue Â· Integral de Lebesgue-Stieltjes Â· Sumatori de Riemann Â· Integral de Riemann Â· Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral imprÃ²pia Â· Integral mÃºltiple Â· Integral multiplicativa Â· Integral de superfÃcie Â· Integral curvilÃnia Â· Teorema de Fubini
IntegraciÃ³ numÃ¨rica
MÃ¨tode de Simpson Â· MÃ¨tode trapezial Â· MÃ¨tode rectangular Â· MÃ¨tode de Romberg Â· IntegraciÃ³ de Montecarlo Â· FÃ³rmules de Newton-Cotes Â· Sumatori de Riemann Â· Quadratura de Gauss Â· Quadratura adaptativa

Categoria: CÃ lcul de primitives

IntegraciÃ³ per substituciÃ³ trigonomÃ¨trica

De ViquipÃ¨dia

Taula de continguts

[edita] Exemples

[edita] Integrals que contenen a² âˆ’ x²

[edita] Integrals que contenen a² + x²

[edita] Integrals que contenen x² âˆ’ a²

[edita] Substitucions que eliminen funcions trigonomÃ¨triques

[edita] Vegeu tambÃ©

Views

NavegaciÃ³

comunitat

Cerca

En altres llengÃ¼es

IntegraciÃ³ per substituciÃ³ trigonomÃ¨trica

De ViquipÃ¨dia

Taula de continguts

[edita] Exemples

[edita] Integrals que contenen a2 âˆ’ x2

[edita] Integrals que contenen a2 + x2

[edita] Integrals que contenen x2 âˆ’ a2

[edita] Substitucions que eliminen funcions trigonomÃ¨triques

[edita] Vegeu tambÃ©

Views

NavegaciÃ³

comunitat

Cerca

En altres llengÃ¼es

[edita] Integrals que contenen a² âˆ’ x²

[edita] Integrals que contenen a² + x²

[edita] Integrals que contenen x² âˆ’ a²