Integraci?? per canvi de variable

De Viquip??dia

En c??lcul, la regla de substituci?? o la integraci?? per canvi de variable ??s un eina per a trobar primitives i integrals. La regla de substituci?? ??s la contrapartida de la regla de la cadena per a calcular derivades.

Suposeu que $f (x)$ ??s una funci?? integrable, i $g (t)$ ??s una funci?? cont??nuament derivable que est?? definida al interval $[a, b]$ i que el seu recorregut est?? contingut al domini de $f$ .

Suposeu que la derivada $g'(t)$ ??s integrabla a $[a, b]$ i

$g'(t) \ne 0 \; \forall t \in [a,b]$

Llavors

$\int_{a}^{b} f(g(t)) g'(t)\,dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx .$

La f??rmula ??s m??s f??cil de recordar emprant la notaci?? de Leibniz: la substituci?? $x = g (t)$ porta a $d x / d t = g'(t)$ i per tant formalment es pot escriure $dx = g'(t)\,dt$ , que ??s precisament el que s???ha de substituir en el lloc de $d x$ . (De fet, es pot veure la regla de substituci?? com una de les principals justificacions per emprar la notaci?? de Leibniz en les integrals i les derivades.)

La f??rmula es fa servir per a transformar una integral en un altre que ??s m??s f??cil de calcular. Aix??, la f??rmula es pot fer servit de dreta a esquerra o d???esquerra a dreta amb la finalitat de simplificar la integral donada.

Taula de continguts

1 Demostraci?? de la regla de substituci??
2 Exemples
3 Primitives
4 Regla de substituci?? per a m??ltiples variables
5 Aplicaci?? en probabilitat

[edita] Demostraci?? de la regla de substituci??

La demostraci?? es fa per a integrals definides. Sia F una primitiva de f aix?? $F'(x) = f (x).$ Pel teorema fonamental del c??lcul,

$\int_c^d f(u) du = F(d) - F(c).$

Tot seguit es defineix una funci?? $G$ per la regla

$G(x) = F(u(x))\, ,$

on u satisf?? les mateixes hip??tesis que abans ?? i $u (a) = c$ , $u (b) = d$ .

Llavors, per la regla de la cadena G ??s derivable i la seva derivada ??s

$G'(x) = F'(u(x)) u'(x)= f(u(x)) u'(x)\,.$

Integrant els dos cantons respecte de x i emprant el teorema fonamental del c??lcul s???obt??

$\int_a^b f(u(x)) u'(x)dx =\int_a^b G'(x) dx = G(b) - G(a).$

Per?? per la definici?? de F aix?? ??s igual a

$G(b) - G(a) = F(u(b)) - F(u(a)) = F(d) - F(c) = \int_c^d f(u) du.$

D???aqu??

$\int_a^b f(u(x)) u'(x)dx = \int_c^d f(u) du.$

Que ??s la regla de substituci?? per a integrals definides.

[edita] Exemples

Calcular la integral

$\int_{0}^2 x \cos(x^2+1) \,dx$

Emprant la substituci?? u = x² + 1, s???obt?? du = 2x dx i

$\int_{0}^2 x \cos(x^2+1) \,dx$	$= \frac{1}{2} \int_{0}^2 \cos(x^2+1) 2x \,dx$
	$= \frac{1}{2} \int_{1}^5\cos(u)\,du$
	$= \frac{1}{2}(\sin(5)-\sin(1)).$

Aqu?? s???ha fet servir la regla de substituci?? de dreta a esquerra. Fixeu-vos com el l??mit inferior x = 0 s???ha transformat u = 0² + 1 = 1 i el l??mit superior x = 2 s???ha transformat en u = 2² + 1 = 5.

Per la integral

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\; dx$

La f??rmula s???ha de fer servir d???esquerra a dreta: La substituci?? x = sin(u), dx = cos(u) du ??s ??til, perqu?? ???(1-sin²(u)) = cos(u):

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\; dx = \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-\sin^2(u)} \cos(u)\;du = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(u)\;du$

La integral que en resulta es pot calcular emprant la integraci?? per parts o la f??rmula de l???angle doble seguida per una o m??s substitucions.

[edita] Primitives

La regla de substituci?? es pot fer servir per a trobar primitives. Se selecciona una relaci?? entre x i u, es determina la corresponent relaci?? entre dx i du a base de derivar i realitzar les substitucions. Llavors es troba una primitiva de la funci?? substitu??da i es desf?? la substituci?? original entre x i u.

De forma similar al primer exemple, ara es pot trobar la seg??ent primitiva amb aquest m??tode:

$\int u \cos(u^2+1) \,du = \frac{1}{2} \int \cos(u^2+1) 2u \,du$

$\qquad = \frac{1}{2} \int\cos(x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(x) + C = \frac{1}{2}\sin(u^2+1) + C$

On C ??s una constant d'integraci?? arbitr??ria.

Fixeu-vos que no hi ha l??mits integrals que transformar, per?? a l?????ltim pas s???ha hagut de revertir la substituci?? original x = u² + 1.

[edita] Regla de substituci?? per a m??ltiples variables

Tamb?? es pot fer servir la regla de substituci?? quant s???integren funcions de varies variables. Aqu?? la funci?? substituci?? (v₁,...,v_n) = ??(u₁,...,u_n ) ha de ser injectiva i cont??nuament derivable, i els diferencials es transformen com

$dv_1\cdots dv_n = |\det(\operatorname{D}\phi)(u_1, \ldots, u_n)| \, du_1\cdots du_n$

on det(D??)(u₁,...,u_n ) indica el determinant de la matriu Jacobiana que cont?? les derivades parcials de ?? . Aquesta f??rmula expressa el fet de que el valor absolut del determinant dels vectors donats ??s igual al volum del paral??lelep??pede abastat.

De forma m??s precisa, la f??rmula de canvi de variable s???estableix amb el seg??ent teorema:

Teorema. Siguin U, V conjunts oberts de Rⁿ i ?? : U ??? V una funci?? Injectiva derivable amb derivades parcials cont??nues, i els jacobi?? de les quals ??s no nul per a tot x de U. Llavors per a qualsevol funci?? real f cont??nua amb suport compacte, amb suport connex en ??(U),

$\int_{\phi(U)} f(\mathbf{v}) d \mathbf{v} = \int_U f(\phi(\mathbf{u})) \left|\det(\operatorname{D}\phi)(\mathbf{u})\right| d \mathbf{u}.$

[edita] Aplicaci?? en probabilitat

La regla de substituci?? es pot emprar per a respondre la seg??ent q??esti?? que t?? import??ncia en probabilitat: donada una variable aleat??ria $X$ amb densitat de probabilitat $p x$ i un altre variable aleat??ria $Y$ relacionada amb $X$ per l???equaci?? $y = ??(x)$ , quina ??s la densitat de probabilitat per a $Y$ ?

??s m??s f??cil de respondre aquesta q??esti?? responent primer la seg??ent q??esti?? lleugerament diferent: quina ??s la probabilitat de que $Y$ prengui un valor en alg??n subconjunt particular $S$ ? Aquesta probabilitat s???escriu $P(Y \in S)$ . Per suposat, si $Y$ t?? densitat de probabilitat $p y$ llavors la resposta ??s

$P(Y \in S) = \int_S p_y(y)~dy$ ,

Per?? aix?? no ??s realment ??til perqu?? no es coneix $p y$ ; aix?? ??s el que s???est?? intentant de trobar en aquest primer pas. Es pot avan??ar considerant el problema en la variable $X$ . $Y$ pren un valor en $S$ sempre que $X$ pren un valor en $?? ??? 1 (S)$ , aix??

$P(Y \in S) = \int_{\Phi^{-1}(S)} p_x(x)~dx$ .

Canviant de la variable x a y dona

$P(Y \in S) = \int_{\Phi^{-1}(S)} p_x(x)~dx = \int_S p_x(\Phi^{-1}(y)) ~ |\frac{d\Phi^{-1}}{dy}|~dy.$

Combinant aquestes dues equacions s???obt??

$\int_S p_y(y)~dy = \int_S p_x(\Phi^{-1}(y)) ~ |\frac{d\Phi^{-1}}{dy}|~dy$

aix??

$p_y(y) = p_x(\Phi^{-1}(y)) ~ |\frac{d\Phi^{-1}}{dy}|.$

En el cas on $X$ and $Y$ dep??n de varies variables independents, ??s a dir. $p_x=p_x(x_1\ldots x_n)$ , i $y = ??(x)$ , $p y$ es pot trobar emprant la regla de substituci?? en varies variables que s???ha discutit abans. El resultat ??s

$p_y(y) = p_x(\Phi^{-1}(y)) ~ |\det \left[ D\Phi ^{-1}(y) \right] |.$

Integraci??

C??lcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integraci?? simb??lica ?? Integral de Gau?? ?? Integral no elemental ?? Constant d???integraci?? ?? Algorisme de Risch ?? Funcions elementals ?? Teorema de Fubini ?? M??tode d'exhausti??
De fraccions racionals ?? Per canvi de variable ?? Per parts ?? Per substituci?? trigonom??trica ?? Per s??ries ?? Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals ?? Integrals de funcions irracionals ?? Integrals de funcions exponencials ?? Integrals de funcions logar??tmiques ?? Integrals de funcions trigonom??triques ?? Integrals inverses de funcions trigonom??triques ?? Integrals de funcions hiperb??liques ?? Integrals de funcions inverses de les funcions hiperb??liques
Definicions d'integraci??
Integral de Bochner ?? Integral de Darboux ?? Integral de Henstock-Kurzwe ?? Integral de Lebesgue ?? Integral de Lebesgue-Stieltjes ?? Sumatori de Riemann ?? Integral de Riemann ?? Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impr??pia ?? Integral m??ltiple ?? Integral multiplicativa ?? Integral de superf??cie ?? Integral curvil??nia ?? Teorema de Fubini
Integraci?? num??rica
M??tode de Simpson ?? M??tode trapezial ?? M??tode rectangular ?? M??tode de Romberg ?? Integraci?? de Montecarlo ?? F??rmules de Newton-Cotes ?? Sumatori de Riemann ?? Quadratura de Gauss ?? Quadratura adaptativa