M??tode d'exhausti??

De Viquip??dia

Aquest article tracta el m??tode de trobar l?????rea duna superf??cie limitada per una corba a base d???exhaurir la difer??ncia entre l?????rea de la corba i l?????rea d???un pol??gon inscrit. Pel m??tode de demostraci?? a base d???exhaurir tots els casos possibles vegeu Demostraci?? per exhausti??

El m??tode d???exhausti?? ??s un m??tode per a trobar l?????rea d???una superf??cie plana limitada per una corba a base de inscriure-li una successi?? de pol??gons les ??rees dels quals convergeixen cap a l?????rea de la superf??cie que els cont??. SI sa successi?? es construeix correctament, la difer??ncia en ??rea entre el pol??gon n-??ssim i la superf??cie que el cont?? esdevindr?? arbitr??riament petita a mesura que n esdev?? gran. Com que aquesta difer??ncia esdev?? arbitr??riament petita, els valors possibles per a l?????rea de la superf??cie s??n sistem??ticament "exhaurits" per les fites inferiors que queden establertes pels membres de la successi??. La idea original va ser de Antifont, tot i que no est?? del tot clar fins a quin punt la va entendre [1]. Eudoxe ??s qui va plantejar la teoria de forma rigorosa. El primer que va utilitzar la expressi?? ???m??tode d???exhausti????? va ser en Gregorie de Saint-Vincent a Opus geometricum guadraturae circuli et sectionum coni al 1647.

El m??tode d???exhausti?? s???ha vist com un precursor dels m??todes del c??lcul infinitesimal. El desenvolupament de la geometria anal??tica i del c??lcul integral entre els segles XVII i XIX (en particular la definici?? rigorosa del l??mit) han susumit el m??tode d???exhausti?? de forma que actualment no es fa servir de forma expl??cita per a la resoluci?? de problemes.

Quadratura del cercle pel m??tode d???exhausti?? emprat per Arqu??medes

Arqu??medes va emprar el m??tode d???exhausti?? com una forma de calcular ?? a base d???omplir el cercle amb pol??gons amb un nombre m??s i m??s gran de costats. El quocient de l?????rea d???aquests pol??gons dividida entre el quadrat del radi del cercle esdev?? arbitr??riament proper al valor real de ?? a mesura que el nombre de cares del pol??gon es fa gran.

Altres resultats obtinguts amb el m??tode d???exhausti?? inclouen ^[1]

L?????rea limitada per una recta i una par??bola ??s 4/3 de la del triangle de la mateixa base i al??ada;
L?????rea d???una el???lipse ??s proporcional a la del rectangle de cares iguals als eixos de la el???lipse;
El volum d???una esfera ??s 4 cops el del con amb el mateix radi de la base i al??ada igual al radi;
El volum d???un cilindre d???al??ada igual al di??metre ??s 3/2 del de la esfera del mateix di??metre;
L?????rea limitada per una espiral i un segment recte ??s 1/3 de la del cercle que t?? un radi igual a la longitud del segment;
La utilitzaci?? del m??tode d???exhausti?? tamb?? va portar (per primer cop) a la avaluaci?? amb ??xit de una s??rie geom??trica.

Una nova forma del m??tode d???exhausti??^[2] subministra una f??rmula per avaluar una integral definida de qualsevol funci?? cont??nua:

$\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \left( {b - a} \right)} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^{2^n - 1} {\left( { - 1} \right)^{m + 1} } } 2^{ - n} f(a + m\left( {b - a} \right)/2^n ).$

Pot ser ??til emprar aquesta f??rmula quan no existeixen primitives elementals. Tamb?? pot ser ??til en l???ensenyament del c??lcul integral.

[edita] Refer??ncies

??? Smith, David E (1958). History of Mathematics, New York: Dover Publications. ISBN 0-486-20430-8.
??? PlanetMath: Derivation of a definite integral formula using the method of exhaustion.. Data d'acc??s: 2006-05-22.

Integraci??

C??lcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integraci?? simb??lica ?? Integral de Gau?? ?? Integral no elemental ?? Constant d???integraci?? ?? Algorisme de Risch ?? Funcions elementals ?? Teorema de Fubini ?? M??tode d'exhausti??
De fraccions racionals ?? Per canvi de variable ?? Per parts ?? Per substituci?? trigonom??trica ?? Per s??ries ?? Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals ?? Integrals de funcions irracionals ?? Integrals de funcions exponencials ?? Integrals de funcions logar??tmiques ?? Integrals de funcions trigonom??triques ?? Integrals inverses de funcions trigonom??triques ?? Integrals de funcions hiperb??liques ?? Integrals de funcions inverses de les funcions hiperb??liques
Definicions d'integraci??
Integral de Bochner ?? Integral de Darboux ?? Integral de Henstock-Kurzwe ?? Integral de Lebesgue ?? Integral de Lebesgue-Stieltjes ?? Sumatori de Riemann ?? Integral de Riemann ?? Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impr??pia ?? Integral m??ltiple ?? Integral multiplicativa ?? Integral de superf??cie ?? Integral curvil??nia ?? Teorema de Fubini
Integraci?? num??rica
M??tode de Simpson ?? M??tode trapezial ?? M??tode rectangular ?? M??tode de Romberg ?? Integraci?? de Montecarlo ?? F??rmules de Newton-Cotes ?? Sumatori de Riemann ?? Quadratura de Gauss ?? Quadratura adaptativa

Categoria: C??lcul integral

M??tode d'exhausti??

De Viquip??dia

[edita] Refer??ncies

Views

Navegaci??

comunitat

Cerca

En altres lleng??es