Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Algorisme de Risch - Viquip??dia

Algorisme de Risch

De Viquip??dia

L'algorisme de Risch, rep aquest nom en honor a Robert H. Risch, ??s una algorisme per al c??lcul d'integrals indefinides (es a dir per a trobar primitives). L'algorisme transforma el problema d'integraci?? en un problema d'??lgebra diferencial. Es basa en la forma de la funci?? que est?? sent integrada i en m??todes per a integrar funcions racionals, radicals, logaritmes i funcions exponencials. Risch, que va desenvolupar l'algorisme el 1968, n'hi va dir un procediment de decisi??, perqu?? ??s un m??tode per a decidir si una funci?? t?? com a integral indefinida una funci?? elemental; i tamb??, si la t??, determinar-la. L'algorisme de Risch-Norman, que ??s una t??cnica m??s r??pida per?? menys potent, va ser desenvolupar al 1976.

L'algorisme de Risch es fa servir per a integrar funcions elementals. S??n funcions que s'obtenen a base de la composici?? de exponencials, logaritmes, radicals, funcions trigonom??triques, i les quatre operacions (+ ??? ?? ??). En Laplace va resoldre aquest problema pel cas de funcions racionals, tal com ell va demostrar, la integral indefinida de una funci?? racional ??s una funci?? racional i un nombre finit de m??ltiples constants de logaritmes de funcions racionals. L'algorisme que va suggerir en Laplace, es descriu habitualment en els llibres de text de c??lcul per?? no va ser implementat fins a la decada del 1960. (Vegeu integraci?? de fraccions racionals per una versi?? que acaba emprant funcions trigonom??triques perqu?? el resultat final ??s m??s senzill que amb logaritmes de funcions racional per?? ??s equivalent).

Liouville va formular el problema que soluciona l'algorisme de Risch. Liouville va demostrat emprant medis anal??tics que si existeix una soluci?? elemental g de la equaci?? g ??? = f llavors existeix un conjunt finit de constants ??i i funcions elementals ui i v tals que la soluci?? ??s de la forma

f = \sum_{i<n} \alpha_i \frac{u_i^{\prime}}{u_i} + v^\prime \,.

En Risch va desenvolupar un m??tode per a trobar un conjunt finit de funcions elementals a considerar.

La intu??ci?? per construir l'algorisme de Risch ve del comportament de les funcions exponencial i logaritme al derivar-les (havent simplificat pr??viament el problema en tenir en compte que les funcions trigonom??triques es poden substituir per funcions exponencials i les funcions inverses de les funcions trigonom??triques es poden substituir per funcions logar??tmiques). Per la funci?? f eg, on f i g s??n funcions derivables, es t??

(f \cdot e^g)' = (f^\prime + f\cdot g^\prime)\cdot e^g,

Per tant si eg estiguessin al resultat de calcular la primitiva, s'hauria d'esperar que tamb?? estiguessin dins de la funci?? a integrar. Tamb??, com que

(f \cdot\ln^n g)' = f^\prime \ln^n{g} + n f \frac{g^\prime}{g} \ln^{n-1}{g}

Llavors si lnng estigu??s en el resultat de calcular la primitiva, llavors nom??s s'haurien d'esperar unes poques pot??ncies del logaritme.

Transformar el procediment de decisi?? de Risch en un algorisme que pugui ser executat per un ordinador ??s una tasca complexa que requereix la utilitzaci?? heur??stiques i molts refinaments.

[edita] Refer??ncies

  • R. H. Risch (1969). ??The Problem of Integration in Finite Terms??. Transactions of the American Mathematical Society 139: 167-189.[1]
  • Maxwell Rosenlicht (1972). ??Integration in finite terms??. American Mathematical Monthly 79: 963-972.
  • Geddes, Czapor, Labahn (1992). Algorithms for Computer Algebra, Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-9259-0. 
  • Manuel Bronstein (2005). Symbolic Integration I, Springer. ISBN 3-540-21493-3. 
  • Manuel Bronstein (1998). "Symbolic Integration Tutorial".

[edita] Vegeu tamb??


Integraci??
\int_a^b f(x)\,dx

Integraci?? simb??lica ?? Integral de Gau?? ?? Integral no elemental ?? Constant d???integraci?? ?? Algorisme de Risch ?? Funcions elementals ?? Teorema de Fubini ?? M??tode d'exhausti??
C??lcul de primitives

De fraccions racionals ?? Per canvi de variable ?? Per parts ?? Per substituci?? trigonom??trica ?? Per s??ries ?? Integral de la secant al cub
Taules d'integrals

Integrals de funcions racionals ?? Integrals de funcions irracionals ?? Integrals de funcions exponencials ?? Integrals de funcions logar??tmiques ?? Integrals de funcions trigonom??triques ?? Integrals inverses de funcions trigonom??triques ?? Integrals de funcions hiperb??liques ?? Integrals de funcions inverses de les funcions hiperb??liques
Definicions d'integraci??

Integral de Bochner ?? Integral de Darboux ?? Integral de Henstock-Kurzwe ?? Integral de Lebesgue ?? Integral de Lebesgue-Stieltjes ?? Sumatori de Riemann ?? Integral de Riemann ?? Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral

Integral impr??pia ?? Integral m??ltiple ?? Integral multiplicativa ?? Integral de superf??cie ?? Integral curvil??nia ?? Teorema de Fubini
Integraci?? num??rica

M??tode de Simpson ?? M??tode trapezial ?? M??tode rectangular ?? M??tode de Romberg ?? Integraci?? de Montecarlo ?? F??rmules de Newton-Cotes ?? Sumatori de Riemann ?? Quadratura de Gauss ?? Quadratura adaptativa