Sumatori de Riemann
De Viquipèdia
En matemàtiques, un sumatori de Riemann és un mètode per aproximar l’àrea entre el gràfic d’una corba i l’eix x; es a dir una aproximació de la integral. Prenent el límit quant el nombre de termes tendeix a infinit es pot fer servir per a definir la operació de integració,
El sumatori de Riemann, rep aquest nom en honor al matemàtic alemany Bernhard Riemann.
Taula de continguts |
[edita] Definició
Sia la funció f: D → R, on D és un subconjunt del conjunt dels nombres reals R, i sia I = [a, b] un interval tancat contingut a D. Un conjunt finit de punts {x0, x1, x2, ... xn} tals que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b Crea una partició
- P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}
de I.
si P és una partició amb n elements de I, llavors el 'sumatori de Riemann de f sobre I amb la partició P es defineix com
on xi-1 ≤ yi ≤ xi. La selecció de yi en aquest interval és arbitrària. Si yi = xi-1 per a tot i, llavors de S se’n diu un sumatori de Riemann esquerra. Si yi = xi, llavors de S se’n diu un sumatori de Riemann dret. Si yi = (xi+xi-1)/2, llavors de S se’n diu un sumatori de Riemann mig. Calculant la mitja dels sumatoris de Rieman dret i esquerre s’obté l’anomenat sumatori trapezoïdal.
Si es té
on vi és el suprem de f sobre [xi-1, xi]; llavors S és per definició un sumatori de Riemann superior. De forma similar, si vi és l’ínfim de f sobre [xi−1, xi], llavors S é un sumatori de Riemann inferior.
Qualsevol sumatori de Riemann en una partició donada (és a dir, per a qualsevol elecció de yi between xi-1 i xi) està entre els sumatoris de Riemann inferior i superior. Una funció és Riemann integrable si els sumatoris de Riemann inferior i superior esdevenen cada cop més propers a mesura que la partició es fa més i més fina. Aquest fet també es pot fer servi en integració numèrica.
[edita] Mètodes
Tal com s’ha establer més amunt, hi ha quatre mètodes habituals per a calcular els sumatoris de Riemann: esquerra, dreta, mig i trapezoïdal. Tot seguit s’estudiaran pel cas senzill en el que les particions es construeixen amb intervals de la mateixa mida. Així, si es divideix l’interval [a, b] en n subintervals, cada un tindrà longitud Q = (b − a) / n. Els punts de la partició seràn
- a, a + Q, a + 2Q, ..., a + (n−2)Q, a + (n−1)Q, b.
[edita] Sumatori de Riemann esquerra
![Un sumatori de Riemann esquerra de x3 sobre [0,2] emprant 4 subdivisions.](../../../../images/shared/thumb/d/db/LeftRiemann2.png/150px-LeftRiemann2.png)
En el sumatori de Riemann esquerra la funció s’aproxima pel valor que té al punt extrem de l’esquerra del interval. Això dona múltiples rectangles amb base Q i alçada f(a + iQ). Fent això per i = 0, 1, ..., n−1, i sumant les àrees resultants s’obté
![Q\left[f(a) + f(a + Q) + f(a + 2Q)+\cdots+f(b - Q)\right].\,](../../../../math/3/d/b/3db38a258ab7a2ea8d4a3e8d36822c8f.png)
Els sumatori de Riemann esquerra serà una sobre estimació si f és monòtona decreixent a l’interval, i una subestimació si és monòtona creixent.
[edita] Sumatori de Rieman dret
![Un sumatori de Riemann dret de x3 sobre [0,2] emprant 4 subdivisions.](../../../../images/shared/thumb/7/7d/RightRiemann2.PNG/180px-RightRiemann2.PNG)
Aquí, per a cada interval s’aproximarà f pel valor que té a l’extrem dret. Això dona múltiples rectangles amb base Q i alçada f(a + iQ). Fent-ho per i = 1, 2, ..., n−1, n, i sumant les àrees que en resulten s’obté
![Q\left[f(a + Q) + f(a + 2Q)+\cdots+f(b)\right].\,](../../../../math/f/5/0/f50bf5efe355d2db7678e43cb50ea29c.png)
El sumatori de Riemann dret serà una sobreestimació di la funció f és monòtona creixent, i una subestimació si és monòtona decreixent.
[edita] Sumatori mig
![Un sumatori de Riemann mig de x3 sobre [0,2] emprant 4 subdivisions.](../../../../images/shared/thumb/f/fd/MidRiemann2.PNG/180px-MidRiemann2.PNG)
En aquest cas s’agafa com aproximació de f a cada interval e seu valor al punt mig. Pel primer interval es té f(a + Q/2), pel següent f(a + 3Q/2), i així fins arribar a f(b-Q/2). Sumant les àrees, es troba
![Q\left[f(a + Q/2) + f(a + 3Q/2)+\cdots+f(b-Q/2)\right].](../../../../math/6/5/7/6577b8e73777fd7eb32405c08618596a.png)
L’error d’aquesta fórmula serà
on M2 és el valor màxim del valor absolut de 
a l’interval.
[edita] Sumatori trapezoïdal
![Un sumatori de Riemann trapezoïdal de x3 sobre [0,2] emprant 4 subdivisions.](../../../../images/shared/thumb/b/bc/TrapRiemann2.PNG/180px-TrapRiemann2.PNG)
EN aquest cas, els valors de la funció f en un interval s’aproximaran per la mitja aritmètica dels valors que pren la funció als extrems esquerra i dret de l’interval. De forma similar a l’anterior, un simple càlcul emprant la fòrmula de l’àrea A = h(b1 + b2) / 2 per un trapezi de cares paral•leles b1, b2 i alçada h es troba que el sumatori de Riemann és
![\frac{1}{2}Q\left[f(a) + 2f(a+Q) + 2f(a+2Q) + 2f(a+3Q)+\cdots+f(b)\right].](../../../../math/8/8/8/888c6bf9b41956b7a401223610b91ce1.png)
L’error d’aquesta aproximació per la integral és
on M2 és el valor màxim del valor absolut de 
