Integral de Lebesgue
De Viquipèdia
En matemàtiques, la integral d'una funció no negativa, en el cas més senzill es pot entendre com l'àrea entre el gràfic de la funció i l'eix x. La integral de Lebesgue és una construcció matemàtica que estén la integral a una classe de funcions més gran; també estén els dominis sobre els quals es poden definir aquestes funcions. Durant mot de temps es va entendre que l'àrea davall la corba de funcions no negatives amb un gràfic prou suau (com per exemple les funcions contínues en intervals tancats i afitats) es podia definir com la integral i es podia calcular emprant tècniques d'aproximació de la regió mitjançant polígons. Però, a mesura que va sorgir la necessitat de tenir en compte funcions més irregulars (per exemple, com a resultat de límits de successions de funcions en anàlisi matemàtic i en la teoria matemàtica de la probabilitat) es va fer clar que calien tècniques d'aproximació més curoses per a definir una integral adequada.
Lla integral de Lebesgue juga un paper important en la branca de les matemàtiques anomenada anàlisi real i en molts altres camps de les ciències matemàtiques.
La integral de Lebesgue rep el seu nom en honor de Henri Lebesgue (1875-1941).
El terme "integració de Lebesgue" es pot referir a la teoria general de la integració d'una funció respecte de una mesura general, tal com la va presentar en Lebesgue, o al cas específic d'integració d'una funció definida en un sub-domini de la recta real respecte de la mesura de Lebesgue.
Taula de continguts |
[edita] Introducció
La integral d'una funció f entre els límits a i b es pot interpretar com l'àrea davall del gràfic de f. Això és fàcil d'entendre per a funcions familiars com ara les funcions polinòmiques, però, què significa per a funcions més exòtiques? En general, quina és la classe de les funcions per a les quals "àrea davall el gràfic de la funció" té sentit? La resposta a questes questions té una importància teòrica i pràctica molt gran. Al segle XIX com a part d'un moviment general cap al rigor en les matemàtiques, es varen fer intents de dotar el càlcul integral d'uns fonaments ferms. La integral de Riemann, proposada per en Bernhard Riemann (1826-1866), és un intent amb un èxit extens per a subministrar quests fonaments a la integral. La definició de Riemann comença amb la definició d'una successió d'integrals fàcilment calculables que convergeix cap a la integral d'una funció donada. Aquesta definició té èxit en el sentit de que dóna la resposta esperada per a molts problemes prèviament resolts, i dóna resultats útils per a molts altres problemes.
En canvi, la integració de Riemann no interactua bé amb la presa de límits de successions de funcions, fent aquest procés de càlcul de límits difícil d'analitzar. Això és de principal importància, per exemple, en l'estudi de les sèries de Fourier, les transformades de Fourier i altres temes. La integral de Lebesgue és més capaç de descriure com i quan és possible prendre límits sota el signe integral. La definició de Lebesgue utilitza una classe diferent d'integrals fàcilment-calculables que la definició de Riemann, aquest és el motiu principal pel qual la integral de Lebesgue té un comportament millor. La definició de la integral de Lebesgue també fa possible el càlcul de integrals de una classe més ampla de funcions. Per exemple, la funció de Dirichlet, que val 0 quant l'argument és irracional i 1 sinó, té integral de Lebesgue, però no té integral de Riemann.
[edita] Construcció de la integral de Lebesgue
EL discurs que segueix va en paral·lel als enfocaments més habituals per exposar la integral de Lebesgue. En aquest enfocament la teoria de la integració té dues parts diferents:
- Una teoria dels conjunts mesurables i les mesures d'aquests conjunts.
- Una teoria de les funcions mesurables i les integrals d'aquestes funcions.
[edita] Teoria de la mesura
La teoria de la Measura es va crear inicialment per subministrar una anàlisi detallat de la noció de longitud de subconjunts de la recta real i més en general de les nocions de àrea i de volum de subconjunts d'espais euclidians. En particular, va subministrar una resposta sistemàtica a la pregunta de quins subconjunts de R tenen una longitud. Tal com es va veure en desenvolupaments posteriors de la teoria de conjunts (vegeu conjunt no mesurable), és de fet imposible asignar una longitud a tots els subconjunts de R de forma que es preservin algunes propietats naturals com l'additivitat i la invariància respecte de les translacions. Això suggereix que seleccionar dins d'una classe adequada de subconjunts mesurables és un prerequisit essencial.
Per suposat, la integral de Riemann fa servir la noció de longitud de forma implícita. En efecte, l'element de càlcul de la integral de Riemann és el rectangle [a, b] × [c, d], l'àrea del qual es calcula com (b−a)(d−c). La quantitat b−a és la longitud de la base del rectangle i d−c és l'alçada del rectangle. En Riemann només podia fer servir rectangles plans per a aproximar l'àrea davall de la corba perquè no hi havia cap teoria adequada per a mesurar conjunts més generals.
En el desenvolupament de la teoria a la majoria dels llibres de text moderns (posteriors a 1950), l'enfocament de la mesura i la integració és axiomàtic. Això significa que una mesura és qualsevol funció μ definida sobre certs subconjunts X d'un conjunt E (l'argument de la funció és el subconjunt i el resultat és el valor de la mesura del subconjunt) que satisfà una certa llista de propietats.
La teoria dels conjunts mesurables i de la mesura (incloent la definició i construcció d'aquestes mesures) es discuteix en altres articles. Vegeu mesura.
[edita] Integració
Com és usual es comença amb un espai amb una mesura, (E,X,μ). Aquí, E és precisament un conjunt, X és una σ-àlgebra de subconjunts de E i μ és una mesura no negativa sobre X de subconjunts de E.
Per exemple, E pot ser l' espai euclidià de dimensió n Rn o algun subconjunt seu Lebesgue mesurable, X serà la σ-àlgebra de tots els subconjunts de E Lebesgue mesurables, i μ serà la mesura de Lebesgue. EN la teoria matemàtica de la probabilitat μ serà una mesura de probabilitat sobre l'espai de probabilitat E.
En la teoria de Lebesgue, les integrals es limiten a una classe de funcions anomenades funcions mesurables. Una funció f és mesurable si l'antiimatge de de tot interval tancat pertany a X:
Es pot demostrar que això és equivalent a requerir que l'antiimatge de tot subconjunt de Borel de R estigui a X. A partir d'aquí es farà aquesta suposició. El conjunt de les funcions mesurables es tancat respecte de les operacions algebraiques, però el que és més important, la classe és tancada respecte de varies menes de límits de successions preses a cada punt de la funció:
Són mesurables si la successió original {fk}, on k ∈ N, està formada per funcions mesurables.
La integral
Per a funcions reals mesurables f definides en E es construeix en quatre etapes:
Funcions característiques: Per assignar una valor a la integral de la funció característica d'un conjunt mesurable S de forma consistent amb una mesura donada μ, la única elecció raonable és establir:
Funcions esglaonades: S'estén per linealitat a la combinació lineal de funcions característiques:
On el sumatori és finit i els coeficients ak són nombres reals. D'aquesta combinació lineal de funcions característiques se'n diu funció esglaonada. Encara que qualsevol funció esglaonada es pot escriure de moltes maneres com a combinació lineal de funcions característiques, la integral serà sempre la mateixa
Funcions no negatives: Sia f una funció mesurable no negativa sobre E a la que permetem que tingui el valor +∞, en altres paraules, f dóna valors no negatius de la recta real estesa. Es defineix
S'ha de demostrar que aquesta integral coincideix amb la precedent, definida al conjunt de les funcions esglaonades. També hi ha la qüestió de si es correspon d'alguna manera amb la noció de Riemann d'integració. No és dificil de demostrar que la resposta a les dues questions és si.
S'ha definit la integral de f per a qualsevol funció mesurable de E amb valors reals estesos. Per algunes funcions ∫f serà infinita.
Funcions amb signe: Per a manejar funcions amb signe, cal afegir unes quantes definicions més. Si f és una funció d'un conjunt mesurable E en els reals (incloent ± ∞), llavors es pot escriure
on
Fixeu-vos que les dues f+ i f− són funcions no negatives. Fixeu-vos també que
si
Llavors es diu que f és Lebesgue integrable. En aquest cas, les dues integrals satisfan
I això fa que tingui sentit definir
Això fa que aquesta definició doni les propietats desitjables de la integral.
Les funcions amb valors complexos es poden integrar de forma semblant, a base de tractar la part real i la imaginaria per separat.
[edita] Interpretació intuïtiva
Per assolir una mica de intuïció sobre els diferents enfocaments de la integració, suposeu que es vol trobar el volum d'una muntanya (per damunt del nivell del mar).
L'enfocament de Riemann-Darboux: Dividir la base de la muntanya en una graella de quadrats de 1 metre de cantó. Mesurar l'altitud de la muntanya al centre de cada quadrat. El volum de un quadrat concret de la graella és aproximadament 1x1x(altitud), així, el volum total és la suma de les altituds.
L'enfocament de Lebesgue: Dibuixar un mapa de corbes de nivell de la muntanya, de forma que les corbes estiguin separades per una altitud de 1 metre. El volum de la terra continguda en cada corba individual, és aproximadament l'àrea tancada per la corba multiplicada pel gruix. Així el volum total és la suma de les àrees de les corbes de nivell.
En Folland [1] resumeix la diferència entre l'enfocament de Riemann i el de Lebesgue així: "per a calcular la integral de Riemann de f, es parteix el domini [a, b] en subintervals", mentre que en la integral de Lebesgue, "en efecte s'està particionant el recorregut de f".
[edita] Exemple
Integrar la funció característica dels nombres racionals, 1Q. Aquesta funció no és contínua en cap punt.
no és Riemann-integrable en [0,1]: No importa com es parteixi el conjunt [0,1] en subintervals, cada partició contindrà algun nombre racional i algun nombre irracional, donat que els racionals i els irracionals són tots dos densos en els reals. Per tant el sumatori de Darboux superior serà sempre 1 i el sumatori de Darboux inferior serà sempre 0. Per tant no convergiran a un mateix nombre com caldria per a que la integral existís.
és Lebesgue-integrable en [0,1] emprant la mesura de Lebesgue: Com que és la funció característica dels racionals, per definició
- donat que
és contable.
[edita] Limitacions de la integral de Riemann
Aquí es discuteixen les limitacions de la integral de Riemann i l'abast més gran que ofereix la integral de Lebesgue. Es presuposa un coneixament pràctic de la integral de Riemannn.
Amb l'adveniment de les sèries de Fourier, varen parèixer molts problemes analítics que implicaven integrals, la solució satisfactòria dels quals requeria l'intercanvi en l'ordre de realització entre sumatoris infinits i signes d'integració. Ara bé, les condicions en les quals les integrals
and
Són iguals són força elusives en el marc de la integral de Riemann. Hi ha algunes altres dificultats tècniques amb la integral de Riemann. Aquestes estan lligades amb la dificultat de passar al límit que s'ha discutit més amunt.
Manca de convergència monòtona. Com s'ha mostrat més amunt, la funció característica 1Q dels racionals no és Riemann integrable. EN particular, el teorema de la convergència monòtona no es compleix. Per veure perquè, sia {ak} una enumeració de tos els nombres racionals de [0,1] (són contables per tant existeix.) Llavors sia
Llavors sia
La funció fk és zero a tot arreu excepte en un conjunt finit de punts, per tant la seva integral de Riemann és zero. La successió fk és també clarament no negativa i monótona creixent cap a 1Q,la qual no és Riemann integrable.
Inadequació pels intervals no afitats. La integral de Riemann només pot integrar funcions en intervals afitats. L'extensió més senzilla és definir
sempre que el límit existeixi. Ara bé, això trenca la propietat desitjable de invariància amb la translació: si f i g són zero fora d'algun interval [a, b] i són Riemann integrables, i si f(x) = g(x + y) per algun y, llavors ∫ f = ∫ g. Amb aquesta definició de la integral impròpia (d'aquesta definició de vegades se'n diu el valor principal de Cauchy impropi sobre el zero), les funcions f(x) = (1 si x > 0, −1 altrament) i g(x) = (1 si x > 1, −1 altrament) són translacions l'una de l'altra, però les seves integrals impròpies són diferents.
[edita] Teoremes bàsics de la integral de Lebesgue
La integral de Lebesgue no distingeix entre funcions que només difereixen en un conjunt de mesura nul·la. Per dir-ho amb precisió, dues funcions f, g es diu que són iguals quasi per a tot si i només si
- si f, g són funcions no negatives (poden arribar a tenir el valor +∞) tals que f = g quasi per a tot, llavors
- si f, g són funcions tals que f = g quasi per a tot, llavors f és Lebesgue integrable si i només si g és Lebesgue integrable i les integrals de f i g són iguals.
La integral de Lebesgue té les següents propietats:
Linealitat: si f i g són funcions Lebesgue integrables i a i b són nombres reals, llavors af + bg és Lebesgue integrable i
Monòtona: si f ≤ g, llavors
Teorema de la convergència monòtona: Suposant que {fk}k ∈ N és una successió de funcions reals mesurables no negatives tal que
Llavors
Nota: El valor de qualsevol de les integrals pot ser infinit.
Lema de Fatou: si {fk}k ∈ N és una successió de funcions reals mesurables no negatives, llavors
Altre cop, el valor de qualsevol de les integrals pot ser infinit.
Teorema de la convergència dominant: si {fk}k ∈ N és una successió de funcions complexes mesurables amb límit punt a punt f, i si hi ha una funció Lebesgue integrable g (és a dir, g ∈ L1) tal que |fk| ≤ g per a tot k, llavors f és Lebesgue integrable i
[edita] Tècniques de demostració
Per a il·lustrar algunes de les tècniques de demostració que es fan servir en la teoria de la integral de Lebesgue, es fa un esborrany de la demostració del teorema de la convergència monòtona que s'ha esmentat més amunt:
Sia {fk}k ∈ N una successió no decreixent de funcions mesurables no negatives i sia
Per l propietat de monotonia de la integral, és immediat que:
I el límit de la dreta existeix, donat que la successió és monòtona.
Ara es demostra la desigualtat en l'altra direcció (que també se segueix del lema de Fatou), això és
A partir de la definició d'integral es dedueix que hi ha una successió no decreixent gn de funcions esglaonades no negatives que convergeix a f pont a punt quasi per a tot i tal que
Per tant, n'hi ha prou amb demostrar que per a cada k ∈ N,
Es demostrarà que si g és una funció esglaonada i
Quasi per a tot, llavors
A base de trencar la funció g en les seves parts constants, això es redueix al cas en que g és la funció característica de un conjunt. El resultat que s'ha de demostrar és llavors
- Suposant que A és un conjunt mesurable i {fk}k ∈ N és una successió no decreixent de funcions mesurables en E tal que
- quasi per a totl x ∈ A. Llavors
Per a demostrar aquest resultat, es fixa ε > 0 i es defineix uns successió de conjunts mesurables
Per la monotonia de la integral, es segueix que per a qualsevol n ∈ N,
Per hipòtesis,
fins a un conjunt de mesura 0. Així, per l'additivitat contable de μ
Com que això és cert per a qualsevol ε positiu s'obté el resultat.
[edita] Formulacions alternatives
Es possible de desenvolupar la integral respecte de la mesura de Lebesgue sense haver de descansar en la maquinaria completa de la teoria de la mesura. Un efocament d'aquest tipus és el que subministra la integral de Daniell.
També hi ha un enfocament alternatiu per a desenvolupar la teoria de la integració a traves dels mètodes del anàlisi funcional. La integral de Riemann existeix per a qualsevol funció contínua f amb suport compacte definida a Rn (o un subconjunt obert fixat). Les integrals per a funcions més generals es poden construir començant a partir d'aquestes integrals. Sia Cc l'epai de totes les funcions reals contínues amb suport compacte de R. Es defineix una norma sobre Cc com
Llavors Cc és un espai vectorial amb norma (i en particular, és un espai mètric). Tots els espais mètrics tenen el corresponen espai Hausdorff complet, aií, sia L1 el seu espai Hausdorff complert. Aquest espai és isomorfic a l'epai de les funcions integrables de Lebesgue m`dul el subespai de les funcions amb integral zero. És més, la integral de Riemann ∫ és un funcional uniformement contínua respecte de la norma sobre Cc, la qual es densa en L1. A parti d'aquí ∫ té una extensió única a totes les L1. Aquesta integral és precisament la integral de Lebesgue.
Aquest enfocament es pot generalitzar per construir la teoria de la integració respecte de la mesura de Radon sobre espais localment compactes. Aquest és l'enfocament adoptat per en Bourbaki (2004); per a més detall vegeu Mesures de Radon en espais localment compactes.
[edita] Aplicacions en anàlisi funcional
Finalment cal mencionar que moltes de les afirmacions sobre espais vectorials topològics (per exemple Espais de Hilbert o espais de Banach) i sobre procediments de pas al límit en els mateixos (és a dir convergència forta o feble) es simplifiquen essencialment si es fa servir des de el començament la integral de Lebesgue.
[edita] Vegeu també
- conjunt nul
- integració
- mesura
- σ-àlgebra
- Integral de Henstock-Kurzweil
[edita] Notes
- ↑ Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 1984, p. 56.
[edita] Referències
- Bartle, Robert G. (1995). The elements of integration and Lebesgue measure, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., pp. xii+179. ISBN 0-471-04222-6. MR1312157
- Nicolas Bourbaki (2004). Integration. I. Chapters 1–6. Translated from the 1959, 1965 and 1967 French originals by Sterling K. Berberian, Elements of Mathematics (Berlin), Berlin: Springer-Verlag, pp. xvi+472. ISBN 3-540-41129-1. MR2018901
- Dudley, Richard M. (1989). Real analysis and probability, The Wadsworth &ammp; Brooks/Cole Mathematics Series, Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, pp. xii+436. ISBN 0-534-10050-3. MR982264 Tractament molt extens, en particular per als probabilistes amb bones notes i referències històriques.
- Folland, Gerald B. (1999). Real analysis: Modern techniques and their applications, Second edition, Pure and Applied Mathematics (New York), New York: John Wiley & Sons Inc., pp. xvi+386. ISBN 0-471-31716-0. MR1681462
- Paul Halmos (1950). Measure Theory, New York, N. Y.: D. Van Nostrand Company, Inc., pp. xi+304. MR0033869 Un clàssic, tot i que amb una presentació un xic antiquada.
- Henri Lebesgue (1972). Oeuvres scientifiques (en cinq volumes) (en French), Geneva: Institut de Mathématiques de l'Université de Genève, pp. 405. MR0389523
- Loomis, Lynn H. (1953). An introduction to abstract harmonic analysis, Toronto-New York-London: D. Van Nostrand Company, Inc., pp. x+190. MR0054173 Inclou una presentació de la integral de Daniell.
- Munroe, M. E. (1953). Introduction to measure and integration, Cambridge, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company Inc., pp. x+310. MR0053186 Bon tractament de la teoria de les mesures externes.
- Royden, H. L. (1988). Real analysis, Third edition, New York: Macmillan Publishing Company, pp. xx+444. ISBN 0-02-404151-3. MR1013117
- Walter Rudin (1976). Principles of mathematical analysis, Third edition, International Series in Pure and Applied Mathematics, New York: McGraw-Hill Book Co., pp. x+342. MR0385023 Conegut com el Petit Rudin, conté els elements bàsics de la teoria de Lebesgue, però no tracta material com el teorema de Fubini.
- Rudin, Walter (1966). Real and complex analysis, New York: McGraw-Hill Book Co., pp. xi+412. MR0210528 Conegut com el Gran Rudin. Una completa i curosa presentació de la teoria. Bona presentació dels teoremes de extensió de Riesz. Però, hi ha un error menor (a la primera edició) a la demostració de un dels teoremes de extensió, el descobriment del qual constitueix l'exercici 21 del Capítol 2.
- Shilov, G. E.; Gurevich, B. L. (1977). Integral, measure and derivative: a unified approach. Translated from the Russian and edited by Richard A. Silverman, Dover Books on Advanced Mathematics (en English), Dover Publications Inc., pp. xiv+233. ISBN 0-486-63519-8. MR0466463 Posa èmfasis en la integral de Daniell.