Integral de Lebesgue

De Viquip??dia

La integral d'una funci?? positiva es pot interpretar com l'??rea continguda entre la corba i l'eix x.

En matem??tiques, la integral d'una funci?? no negativa, en el cas m??s senzill es pot entendre com l'??rea entre el gr??fic de la funci?? i l'eix x. La integral de Lebesgue ??s una construcci?? matem??tica que est??n la integral a una classe de funcions m??s gran; tamb?? est??n els dominis sobre els quals es poden definir aquestes funcions. Durant mot de temps es va entendre que l'??rea davall la corba de funcions no negatives amb un gr??fic prou suau (com per exemple les funcions cont??nues en intervals tancats i afitats) es podia definir com la integral i es podia calcular emprant t??cniques d'aproximaci?? de la regi?? mitjan??ant pol??gons. Per??, a mesura que va sorgir la necessitat de tenir en compte funcions m??s irregulars (per exemple, com a resultat de l??mits de successions de funcions en an??lisi matem??tic i en la teoria matem??tica de la probabilitat) es va fer clar que calien t??cniques d'aproximaci?? m??s curoses per a definir una integral adequada.

Lla integral de Lebesgue juga un paper important en la branca de les matem??tiques anomenada an??lisi real i en molts altres camps de les ci??ncies matem??tiques.

La integral de Lebesgue rep el seu nom en honor de Henri Lebesgue (1875-1941).

El terme "integraci?? de Lebesgue" es pot referir a la teoria general de la integraci?? d'una funci?? respecte de una mesura general, tal com la va presentar en Lebesgue, o al cas espec??fic d'integraci?? d'una funci?? definida en un sub-domini de la recta real respecte de la mesura de Lebesgue.

Taula de continguts

1 Introducci??
2 Construcci?? de la integral de Lebesgue
3 Limitacions de la integral de Riemann
4 Teoremes b??sics de la integral de Lebesgue
5 T??cniques de demostraci??
6 Formulacions alternatives
7 Aplicacions en an??lisi funcional
8 Vegeu tamb??
9 Notes
10 Refer??ncies

[edita] Introducci??

La integral d'una funci?? f entre els l??mits a i b es pot interpretar com l'??rea davall del gr??fic de f. Aix?? ??s f??cil d'entendre per a funcions familiars com ara les funcions polin??miques, per??, qu?? significa per a funcions m??s ex??tiques? En general, quina ??s la classe de les funcions per a les quals "??rea davall el gr??fic de la funci??" t?? sentit? La resposta a questes questions t?? una import??ncia te??rica i pr??ctica molt gran. Al segle XIX com a part d'un moviment general cap al rigor en les matem??tiques, es varen fer intents de dotar el c??lcul integral d'uns fonaments ferms. La integral de Riemann, proposada per en Bernhard Riemann (1826-1866), ??s un intent amb un ??xit extens per a subministrar quests fonaments a la integral. La definici?? de Riemann comen??a amb la definici?? d'una successi?? d'integrals f??cilment calculables que convergeix cap a la integral d'una funci?? donada. Aquesta definici?? t?? ??xit en el sentit de que d??na la resposta esperada per a molts problemes pr??viament resolts, i d??na resultats ??tils per a molts altres problemes.

En canvi, la integraci?? de Riemann no interactua b?? amb la presa de l??mits de successions de funcions, fent aquest proc??s de c??lcul de l??mits dif??cil d'analitzar. Aix?? ??s de principal import??ncia, per exemple, en l'estudi de les s??ries de Fourier, les transformades de Fourier i altres temes. La integral de Lebesgue ??s m??s capa?? de descriure com i quan ??s possible prendre l??mits sota el signe integral. La definici?? de Lebesgue utilitza una classe diferent d'integrals f??cilment-calculables que la definici?? de Riemann, aquest ??s el motiu principal pel qual la integral de Lebesgue t?? un comportament millor. La definici?? de la integral de Lebesgue tamb?? fa possible el c??lcul de integrals de una classe m??s ampla de funcions. Per exemple, la funci?? de Dirichlet, que val 0 quant l'argument ??s irracional i 1 sin??, t?? integral de Lebesgue, per?? no t?? integral de Riemann.

[edita] Construcci?? de la integral de Lebesgue

EL discurs que segueix va en paral??lel als enfocaments m??s habituals per exposar la integral de Lebesgue. En aquest enfocament la teoria de la integraci?? t?? dues parts diferents:

Una teoria dels conjunts mesurables i les mesures d'aquests conjunts.
Una teoria de les funcions mesurables i les integrals d'aquestes funcions.

[edita] Teoria de la mesura

La teoria de la Measura es va crear inicialment per subministrar una an??lisi detallat de la noci?? de longitud de subconjunts de la recta real i m??s en general de les nocions de ??rea i de volum de subconjunts d'espais euclidians. En particular, va subministrar una resposta sistem??tica a la pregunta de quins subconjunts de R tenen una longitud. Tal com es va veure en desenvolupaments posteriors de la teoria de conjunts (vegeu conjunt no mesurable), ??s de fet imposible asignar una longitud a tots els subconjunts de R de forma que es preservin algunes propietats naturals com l'additivitat i la invari??ncia respecte de les translacions. Aix?? suggereix que seleccionar dins d'una classe adequada de subconjunts mesurables ??s un prerequisit essencial.

Per suposat, la integral de Riemann fa servir la noci?? de longitud de forma impl??cita. En efecte, l'element de c??lcul de la integral de Riemann ??s el rectangle [a, b] ?? [c, d], l'??rea del qual es calcula com (b???a)(d???c). La quantitat b???a ??s la longitud de la base del rectangle i d???c ??s l'al??ada del rectangle. En Riemann nom??s podia fer servir rectangles plans per a aproximar l'??rea davall de la corba perqu?? no hi havia cap teoria adequada per a mesurar conjunts m??s generals.

En el desenvolupament de la teoria a la majoria dels llibres de text moderns (posteriors a 1950), l'enfocament de la mesura i la integraci?? ??s axiom??tic. Aix?? significa que una mesura ??s qualsevol funci?? ?? definida sobre certs subconjunts X d'un conjunt E (l'argument de la funci?? ??s el subconjunt i el resultat ??s el valor de la mesura del subconjunt) que satisf?? una certa llista de propietats.

La teoria dels conjunts mesurables i de la mesura (incloent la definici?? i construcci?? d'aquestes mesures) es discuteix en altres articles. Vegeu mesura.

[edita] Integraci??

Com ??s usual es comen??a amb un espai amb una mesura, (E,X,??). Aqu??, E ??s precisament un conjunt, X ??s una ??-??lgebra de subconjunts de E i ?? ??s una mesura no negativa sobre X de subconjunts de E.

Per exemple, E pot ser l' espai euclidi?? de dimensi?? n Rⁿ o algun subconjunt seu Lebesgue mesurable, X ser?? la ??-??lgebra de tots els subconjunts de E Lebesgue mesurables, i ?? ser?? la mesura de Lebesgue. EN la teoria matem??tica de la probabilitat ?? ser?? una mesura de probabilitat sobre l'espai de probabilitat E.

En la teoria de Lebesgue, les integrals es limiten a una classe de funcions anomenades funcions mesurables. Una funci?? f ??s mesurable si l'antiimatge de de tot interval tancat pertany a X:

$f^{-1}([a,b]) \in X \mbox{ for all }a<b.$

Es pot demostrar que aix?? ??s equivalent a requerir que l'antiimatge de tot subconjunt de Borel de R estigui a X. A partir d'aqu?? es far?? aquesta suposici??. El conjunt de les funcions mesurables es tancat respecte de les operacions algebraiques, per?? el que ??s m??s important, la classe ??s tancada respecte de varies menes de l??mits de successions preses a cada punt de la funci??:

$\liminf_{k \in \mathbb{N}} f_k, \quad \limsup_{k \in \mathbb{N}} f_k$

S??n mesurables si la successi?? original {f_k}, on k ??? N, est?? formada per funcions mesurables.

La integral

$\int_E f d \mu \quad$

Per a funcions reals mesurables f definides en E es construeix en quatre etapes:

Funcions caracter??stiques: Per assignar una valor a la integral de la funci?? caracter??stica d'un conjunt mesurable S de forma consistent amb una mesura donada ??, la ??nica elecci?? raonable ??s establir:

$\int 1_S d \mu = \mu (S)$

Funcions esglaonades: S'est??n per linealitat a la combinaci?? lineal de funcions caracter??stiques:

$\int \bigg(\sum_k a_k 1_{S_k}\bigg) d \mu = \sum_k a_k \int 1_{S_k}d \mu$

On el sumatori ??s finit i els coeficients a_k s??n nombres reals. D'aquesta combinaci?? lineal de funcions caracter??stiques se'n diu funci?? esglaonada. Encara que qualsevol funci?? esglaonada es pot escriure de moltes maneres com a combinaci?? lineal de funcions caracter??stiques, la integral ser?? sempre la mateixa

Funcions no negatives: Sia f una funci?? mesurable no negativa sobre E a la que permetem que tingui el valor +???, en altres paraules, f d??na valors no negatius de la recta real estesa. Es defineix

$\int_E f\,d\mu = \sup\left\{\,\int_E s\,d\mu : s\le f,\ s\ \mbox{simple}\,\right\}$

S'ha de demostrar que aquesta integral coincideix amb la precedent, definida al conjunt de les funcions esglaonades. Tamb?? hi ha la q??esti?? de si es correspon d'alguna manera amb la noci?? de Riemann d'integraci??. No ??s dificil de demostrar que la resposta a les dues questions ??s si.

S'ha definit la integral de f per a qualsevol funci?? mesurable de E amb valors reals estesos. Per algunes funcions ???f ser?? infinita.

Funcions amb signe: Per a manejar funcions amb signe, cal afegir unes quantes definicions m??s. Si f ??s una funci?? d'un conjunt mesurable E en els reals (incloent ?? ???), llavors es pot escriure

$f = f^+ - f^-, \quad$

$f^+(x) = \left\{\begin{matrix} f(x) & \mbox{if} \quad f(x) > 0 \\ 0 & \mbox{otherwise} \end{matrix}\right.$

$f^-(x) = \left\{\begin{matrix} -f(x) & \mbox{if} \quad f(x) < 0 \\ 0 & \mbox{otherwise} \end{matrix}\right.$

Fixeu-vos que les dues f⁺ i f^??? s??n funcions no negatives. Fixeu-vos tamb?? que

$|f| = f^+ + f^-. \quad$

$\int |f| d \mu < \infty,$

Llavors es diu que f ??s Lebesgue integrable. En aquest cas, les dues integrals satisfan

$\int f^+ d \mu < \infty, \quad \int f^- d \mu < \infty,$

I aix?? fa que tingui sentit definir

$\int f d \mu = \int f^+ d \mu - \int f^- d \mu$

Aix?? fa que aquesta definici?? doni les propietats desitjables de la integral.

Les funcions amb valors complexos es poden integrar de forma semblant, a base de tractar la part real i la imaginaria per separat.

[edita] Interpretaci?? intu??tiva

Ilustraci?? d'una integral de Riemann (blau) i una integral de Labesgue (vermell)

Per assolir una mica de intu??ci?? sobre els diferents enfocaments de la integraci??, suposeu que es vol trobar el volum d'una muntanya (per damunt del nivell del mar).

L'enfocament de Riemann-Darboux: Dividir la base de la muntanya en una graella de quadrats de 1 metre de cant??. Mesurar l'altitud de la muntanya al centre de cada quadrat. El volum de un quadrat concret de la graella ??s aproximadament 1x1x(altitud), aix??, el volum total ??s la suma de les altituds.

L'enfocament de Lebesgue: Dibuixar un mapa de corbes de nivell de la muntanya, de forma que les corbes estiguin separades per una altitud de 1 metre. El volum de la terra continguda en cada corba individual, ??s aproximadament l'??rea tancada per la corba multiplicada pel gruix. Aix?? el volum total ??s la suma de les ??rees de les corbes de nivell.

En Folland ^[1] resumeix la difer??ncia entre l'enfocament de Riemann i el de Lebesgue aix??: "per a calcular la integral de Riemann de f, es parteix el domini [a, b] en subintervals", mentre que en la integral de Lebesgue, "en efecte s'est?? particionant el recorregut de f".

[edita] Exemple

Integrar la funci?? caracter??stica dels nombres racionals, 1_Q. Aquesta funci?? no ??s cont??nua en cap punt.

$1_{\mathbb Q}$ no ??s Riemann-integrable en [0,1]: No importa com es parteixi el conjunt [0,1] en subintervals, cada partici?? contindr?? algun nombre racional i algun nombre irracional, donat que els racionals i els irracionals s??n tots dos densos en els reals. Per tant el sumatori de Darboux superior ser?? sempre 1 i el sumatori de Darboux inferior ser?? sempre 0. Per tant no convergiran a un mateix nombre com caldria per a que la integral exist??s.

$1_{\mathbb Q}$ ??s Lebesgue-integrable en [0,1] emprant la mesura de Lebesgue: Com que ??s la funci?? caracter??stica dels racionals, per definici??

$\int_{[0,1]} 1_{\mathbb{Q}} \, d \mu = \mu(\mathbb{Q} \cap [0,1]) = 0,$

donat que $\mathbb Q$ ??s contable.

[edita] Limitacions de la integral de Riemann

Aqu?? es discuteixen les limitacions de la integral de Riemann i l'abast m??s gran que ofereix la integral de Lebesgue. Es presuposa un coneixament pr??ctic de la integral de Riemannn.

Amb l'adveniment de les s??ries de Fourier, varen par??ixer molts problemes anal??tics que implicaven integrals, la soluci?? satisfact??ria dels quals requeria l'intercanvi en l'ordre de realitzaci?? entre sumatoris infinits i signes d'integraci??. Ara b??, les condicions en les quals les integrals

$\sum_k \int f_k(x) dx$ and $\int \bigg[\sum_k f_k(x) \bigg] dx$

S??n iguals s??n for??a elusives en el marc de la integral de Riemann. Hi ha algunes altres dificultats t??cniques amb la integral de Riemann. Aquestes estan lligades amb la dificultat de passar al l??mit que s'ha discutit m??s amunt.

Manca de converg??ncia mon??tona. Com s'ha mostrat m??s amunt, la funci?? caracter??stica 1_Q dels racionals no ??s Riemann integrable. EN particular, el teorema de la converg??ncia mon??tona no es compleix. Per veure perqu??, sia {a_k} una enumeraci?? de tos els nombres racionals de [0,1] (s??n contables per tant existeix.) Llavors sia

$g_k(x) = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{if } x = a_k \\ 0 & \mbox{altrament} \end{matrix} \right.$

Llavors sia

$f_k = g_1 + g_2+ \ldots + g_k. \quad$

La funci?? f_k ??s zero a tot arreu excepte en un conjunt finit de punts, per tant la seva integral de Riemann ??s zero. La successi?? f_k ??s tamb?? clarament no negativa i mon??tona creixent cap a 1_Q,la qual no ??s Riemann integrable.

Inadequaci?? pels intervals no afitats. La integral de Riemann nom??s pot integrar funcions en intervals afitats. L'extensi?? m??s senzilla ??s definir

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{a \rightarrow \infty} \int_{-a}^{+a} f(x) dx$

sempre que el l??mit existeixi. Ara b??, aix?? trenca la propietat desitjable de invari??ncia amb la translaci??: si f i g s??n zero fora d'algun interval [a, b] i s??n Riemann integrables, i si f(x) = g(x + y) per algun y, llavors ??? f = ??? g. Amb aquesta definici?? de la integral impr??pia (d'aquesta definici?? de vegades se'n diu el valor principal de Cauchy impropi sobre el zero), les funcions f(x) = (1 si x > 0, ???1 altrament) i g(x) = (1 si x > 1, ???1 altrament) s??n translacions l'una de l'altra, per?? les seves integrals impr??pies s??n diferents.

$\int f(x) dx = 0, \quad \int g(x) dx= -2 . \quad$

[edita] Teoremes b??sics de la integral de Lebesgue

La integral de Lebesgue no distingeix entre funcions que nom??s difereixen en un conjunt de mesura nul??la. Per dir-ho amb precisi??, dues funcions f, g es diu que s??n iguals quasi per a tot si i nom??s si

$\mu(\{x \in E: f(x) \neq g(x)\}) = 0$

si f, g s??n funcions no negatives (poden arribar a tenir el valor +???) tals que f = g quasi per a tot, llavors

$\int f d \mu = \int g d \mu.$

si f, g s??n funcions tals que f = g quasi per a tot, llavors f ??s Lebesgue integrable si i nom??s si g ??s Lebesgue integrable i les integrals de f i g s??n iguals.

La integral de Lebesgue t?? les seg??ents propietats:

Linealitat: si f i g s??n funcions Lebesgue integrables i a i b s??n nombres reals, llavors af + bg ??s Lebesgue integrable i

$\int (a f + bg) d \mu = a \int f d\mu + b \int g d\mu$

Mon??tona: si f ??? g, llavors

$\int f d \mu \leq \int g d \mu.$

Teorema de la converg??ncia mon??tona: Suposant que {f_k}_{k ??? N} ??s una successi?? de funcions reals mesurables no negatives tal que

$f_k(x) \leq f_{k+1}(x) \quad \forall k\in \mathbb{N}, \forall x \in E.$

Llavors

$\lim_k \int f_k d \mu = \int \sup_k f_k d \mu.$

Nota: El valor de qualsevol de les integrals pot ser infinit.

Lema de Fatou: si {f_k}_{k ??? N} ??s una successi?? de funcions reals mesurables no negatives, llavors

$\int \liminf_k f_k d \mu \leq \liminf_k \int f_k d \mu.$

Altre cop, el valor de qualsevol de les integrals pot ser infinit.

Teorema de la converg??ncia dominant: si {f_k}_{k ??? N} ??s una successi?? de funcions complexes mesurables amb l??mit punt a punt f, i si hi ha una funci?? Lebesgue integrable g (??s a dir, g ??? L¹) tal que |f_k| ??? g per a tot k, llavors f ??s Lebesgue integrable i

$\lim_k \int f_k d \mu = \int f d \mu.$

[edita] T??cniques de demostraci??

Per a il??lustrar algunes de les t??cniques de demostraci?? que es fan servir en la teoria de la integral de Lebesgue, es fa un esborrany de la demostraci?? del teorema de la converg??ncia mon??tona que s'ha esmentat m??s amunt:

Sia {f_k}_{k ??? N} una successi?? no decreixent de funcions mesurables no negatives i sia

$f = \sup_{k \in \mathbb{N}} f_k$

Per l propietat de monotonia de la integral, ??s immediat que:

$\int f d \mu \geq \lim_k \int f_k d \mu$

I el l??mit de la dreta existeix, donat que la successi?? ??s mon??tona.

Ara es demostra la desigualtat en l'altra direcci?? (que tamb?? se segueix del lema de Fatou), aix?? ??s

$\int f d \mu \leq \lim_k \int f_k d \mu.$

A partir de la definici?? d'integral es dedueix que hi ha una successi?? no decreixent g_n de funcions esglaonades no negatives que convergeix a f pont a punt quasi per a tot i tal que

$\lim_k \int g_k d \mu = \int f d \mu.$

Per tant, n'hi ha prou amb demostrar que per a cada k ??? N,

$\int g_k d \mu \leq \lim_j \int f_j d \mu.$

Es demostrar?? que si g ??s una funci?? esglaonada i

$\lim_j f_j(x) \geq g(x)$

Quasi per a tot, llavors

$\lim_j \int f_j d \mu \geq \int g d \mu.$

A base de trencar la funci?? g en les seves parts constants, aix?? es redueix al cas en que g ??s la funci?? caracter??stica de un conjunt. El resultat que s'ha de demostrar ??s llavors

Suposant que A ??s un conjunt mesurable i {f_k}_{k ??? N} ??s una successi?? no decreixent de funcions mesurables en E tal que

$\lim_n f_n (x) \geq 1$

quasi per a totl x ??? A. Llavors

$\lim_n \int f_n d\mu \geq \mu(A).$

Per a demostrar aquest resultat, es fixa ?? > 0 i es defineix uns successi?? de conjunts mesurables

$B_n = \{x \in A: f_n(x) \geq 1 - \epsilon \}.$

Per la monotonia de la integral, es segueix que per a qualsevol n ??? N,

$\mu(B_n) (1 - \epsilon) = \int (1 - \epsilon) 1_{B_n} d \mu \leq \int f_n d \mu$

Per hip??tesis,

$\bigcup_i B_i = A,$

fins a un conjunt de mesura 0. Aix??, per l'additivitat contable de ??

$\mu(A) = \lim_n \mu(B_n) \leq \lim_n (1 - \epsilon)^{-1} \int f_n d \mu.$

Com que aix?? ??s cert per a qualsevol ?? positiu s'obt?? el resultat.

[edita] Formulacions alternatives

Es possible de desenvolupar la integral respecte de la mesura de Lebesgue sense haver de descansar en la maquinaria completa de la teoria de la mesura. Un efocament d'aquest tipus ??s el que subministra la integral de Daniell.

Tamb?? hi ha un enfocament alternatiu per a desenvolupar la teoria de la integraci?? a traves dels m??todes del an??lisi funcional. La integral de Riemann existeix per a qualsevol funci?? cont??nua f amb suport compacte definida a Rⁿ (o un subconjunt obert fixat). Les integrals per a funcions m??s generals es poden construir comen??ant a partir d'aquestes integrals. Sia C_c l'epai de totes les funcions reals cont??nues amb suport compacte de R. Es defineix una norma sobre C_c com

$\|f\| = \int |f(x)| dx$

Llavors C_c ??s un espai vectorial amb norma (i en particular, ??s un espai m??tric). Tots els espais m??trics tenen el corresponen espai Hausdorff complet, ai??, sia L¹ el seu espai Hausdorff complert. Aquest espai ??s isomorfic a l'epai de les funcions integrables de Lebesgue m`dul el subespai de les funcions amb integral zero. ??s m??s, la integral de Riemann ??? ??s un funcional uniformement cont??nua respecte de la norma sobre C_c, la qual es densa en L¹. A parti d'aqu?? ??? t?? una extensi?? ??nica a totes les L¹. Aquesta integral ??s precisament la integral de Lebesgue.

Aquest enfocament es pot generalitzar per construir la teoria de la integraci?? respecte de la mesura de Radon sobre espais localment compactes. Aquest ??s l'enfocament adoptat per en Bourbaki (2004); per a m??s detall vegeu Mesures de Radon en espais localment compactes.

[edita] Aplicacions en an??lisi funcional

Finalment cal mencionar que moltes de les afirmacions sobre espais vectorials topol??gics (per exemple Espais de Hilbert o espais de Banach) i sobre procediments de pas al l??mit en els mateixos (??s a dir converg??ncia forta o feble) es simplifiquen essencialment si es fa servir des de el comen??ament la integral de Lebesgue.

[edita] Vegeu tamb??

conjunt nul
integraci??
mesura
??-??lgebra
Integral de Henstock-Kurzweil

[edita] Notes

??? Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 1984, p. 56.

[edita] Refer??ncies

Bartle, Robert G. (1995). The elements of integration and Lebesgue measure, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., pp. xii+179. ISBN 0-471-04222-6. MR1312157

Nicolas Bourbaki (2004). Integration. I. Chapters 1???6. Translated from the 1959, 1965 and 1967 French originals by Sterling K. Berberian, Elements of Mathematics (Berlin), Berlin: Springer-Verlag, pp. xvi+472. ISBN 3-540-41129-1. MR2018901

Dudley, Richard M. (1989). Real analysis and probability, The Wadsworth &ammp; Brooks/Cole Mathematics Series, Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, pp. xii+436. ISBN 0-534-10050-3. MR982264 Tractament molt extens, en particular per als probabilistes amb bones notes i refer??ncies hist??riques.

Folland, Gerald B. (1999). Real analysis: Modern techniques and their applications, Second edition, Pure and Applied Mathematics (New York), New York: John Wiley & Sons Inc., pp. xvi+386. ISBN 0-471-31716-0. MR1681462

Paul Halmos (1950). Measure Theory, New York, N. Y.: D. Van Nostrand Company, Inc., pp. xi+304. MR0033869 Un cl??ssic, tot i que amb una presentaci?? un xic antiquada.

Henri Lebesgue (1972). Oeuvres scientifiques (en cinq volumes) (en French), Geneva: Institut de Math??matiques de l'Universit?? de Gen??ve, pp. 405. MR0389523

Loomis, Lynn H. (1953). An introduction to abstract harmonic analysis, Toronto-New York-London: D. Van Nostrand Company, Inc., pp. x+190. MR0054173 Inclou una presentaci?? de la integral de Daniell.

Munroe, M. E. (1953). Introduction to measure and integration, Cambridge, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company Inc., pp. x+310. MR0053186 Bon tractament de la teoria de les mesures externes.

Royden, H. L. (1988). Real analysis, Third edition, New York: Macmillan Publishing Company, pp. xx+444. ISBN 0-02-404151-3. MR1013117

Walter Rudin (1976). Principles of mathematical analysis, Third edition, International Series in Pure and Applied Mathematics, New York: McGraw-Hill Book Co., pp. x+342. MR0385023 Conegut com el Petit Rudin, cont?? els elements b??sics de la teoria de Lebesgue, per?? no tracta material com el teorema de Fubini.

Rudin, Walter (1966). Real and complex analysis, New York: McGraw-Hill Book Co., pp. xi+412. MR0210528 Conegut com el Gran Rudin. Una completa i curosa presentaci?? de la teoria. Bona presentaci?? dels teoremes de extensi?? de Riesz. Per??, hi ha un error menor (a la primera edici??) a la demostraci?? de un dels teoremes de extensi??, el descobriment del qual constitueix l'exercici 21 del Cap??tol 2.

Shilov, G. E.; Gurevich, B. L. (1977). Integral, measure and derivative: a unified approach. Translated from the Russian and edited by Richard A. Silverman, Dover Books on Advanced Mathematics (en English), Dover Publications Inc., pp. xiv+233. ISBN 0-486-63519-8. MR0466463 Posa ??mfasis en la integral de Daniell.

Integraci??

C??lcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integraci?? simb??lica ?? Integral de Gau?? ?? Integral no elemental ?? Constant d???integraci?? ?? Algorisme de Risch ?? Funcions elementals ?? Teorema de Fubini ?? M??tode d'exhausti??
De fraccions racionals ?? Per canvi de variable ?? Per parts ?? Per substituci?? trigonom??trica ?? Per s??ries ?? Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals ?? Integrals de funcions irracionals ?? Integrals de funcions exponencials ?? Integrals de funcions logar??tmiques ?? Integrals de funcions trigonom??triques ?? Integrals inverses de funcions trigonom??triques ?? Integrals de funcions hiperb??liques ?? Integrals de funcions inverses de les funcions hiperb??liques
Definicions d'integraci??
Integral de Bochner ?? Integral de Darboux ?? Integral de Henstock-Kurzwe ?? Integral de Lebesgue ?? Integral de Lebesgue-Stieltjes ?? Sumatori de Riemann ?? Integral de Riemann ?? Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impr??pia ?? Integral m??ltiple ?? Integral multiplicativa ?? Integral de superf??cie ?? Integral curvil??nia ?? Teorema de Fubini
Integraci?? num??rica
M??tode de Simpson ?? M??tode trapezial ?? M??tode rectangular ?? M??tode de Romberg ?? Integraci?? de Montecarlo ?? F??rmules de Newton-Cotes ?? Sumatori de Riemann ?? Quadratura de Gauss ?? Quadratura adaptativa

Categoria: Definicions d'integraci??

Categoria oculta: Viquip??dia:Articles destacats en polon??s