Teorema de Fubini

De Viquipèdia

El Teorema de Fubini, que deu el seu nom a Guido Fubini, estableix que si

$\int_{A\times B} |f(x,y)|\,d(x,y)<\infty,$

aleshores la integral respecte el producte de dos intervals en l'espai $A\times B$ , es pot expressar com

$\int_A\left(\int_B f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,dx\right)\,dy=$

$=\int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y),$

on les dues primeres integrals són integrals simples i on la tercera és una integral sobre el producte dels dos intervals.

A més a més, també es compleix que si

f (x, y) = h (x) g (y)

aleshores

$\int_A h(x)\, dx \int_B g(y)\, dy = \int_{A\times B} h(x)g(y)\,d(x,y) =$

$= \int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y).$

Quan la integral de més amunt no té un valor finit, la integració doble pot donar valors diferents.

El teorema de Tonelli està fortament relacionat amb el de Fubini.

[edita] Definició formal

Siguin (X, A, μ) i (Y, B, ν) espais mesurables complets i sigui (X×Y, C, μ×ν) l'espai mesurable producte. Aleshores, per a qualsevol funció mesurable f de X×Y a la recta real extesa (recta real que inclou +∞ i −∞), si f és integrable en μ×ν, això és

$\int_{X\times Y} |f| d(\mu\times \nu) < \infty$

aleshores es compleixen les condicions següents:

1. Per quasi tot x de X, la funció f_x que fa correspondre y (de Y) a f(x, y) és integrable. El mateix succeeix per f_y.

2. La funció definida per

$F_X(x)=\left\{\begin{array}{ll} \int_{Y}f_x d\nu & \text{si } f_x \text{ es integrable}\\ 0&\text{altrament}\end{array}\right.$

és integrable. El mateix succeeix per F_Y

3. Aquestes integrals satisfan

$\int_XF_Xd\mu = \int_Y F_Yd\nu = \int_{X\times Y} f d(\mu\times\nu)$

[edita] Aplicacions

L'avaluació de la integral de Gauß és una de les aplicacions del teorema de Fubini. Això és, que es compleix la següent igualtat

$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.$

[edita] Vegeu també

Teorema de Clairaut (o Teorema de Schwarz) sobre la simetria de les segones derivades.

Integració

Càlcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integració simbòlica · Integral de Gauß · Integral no elemental · Constant d’integració · Algorisme de Risch · Funcions elementals · Teorema de Fubini · Mètode d'exhaustió
De fraccions racionals · Per canvi de variable · Per parts · Per substitució trigonomètrica · Per sèries · Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals · Integrals de funcions irracionals · Integrals de funcions exponencials · Integrals de funcions logarítmiques · Integrals de funcions trigonomètriques · Integrals inverses de funcions trigonomètriques · Integrals de funcions hiperbòliques · Integrals de funcions inverses de les funcions hiperbòliques
Definicions d'integració
Integral de Bochner · Integral de Darboux · Integral de Henstock-Kurzwe · Integral de Lebesgue · Integral de Lebesgue-Stieltjes · Sumatori de Riemann · Integral de Riemann · Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impròpia · Integral múltiple · Integral multiplicativa · Integral de superfície · Integral curvilínia · Teorema de Fubini
Integració numèrica
Mètode de Simpson · Mètode trapezial · Mètode rectangular · Mètode de Romberg · Integració de Montecarlo · Fórmules de Newton-Cotes · Sumatori de Riemann · Quadratura de Gauss · Quadratura adaptativa