Integral de Gau??

De Viquip??dia

La integral de Gau?? ??s una integral definida, que fou calculada per primera vegada per Gau??. ??s la base de la distribuci?? normal (o distribuci?? gaussiana). ??s un element fonamental de la teoria de la probabilitat.

La integral s'expressa habitualment com

$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}~,$

o, de forma equivalent, com

$\int_{0}^\infty e^{-x^2}\,dx= \frac {\sqrt{\pi}} 2.$

La demostraci?? d'aquesta integral est?? basada en el Teorema de Fubini.

[edita] El c??lcul de la integral

El c??lcul de la integral es pot obtenir a partir del teorema del residu de l'an??lisi complexa, i tamb?? es pot calcular amb un procediment anal??tic.

Sigui I el valor d'aquesta integral. Aleshores,

$I^2 = \int_{0}^\infty e^{-x^2}dx\, \int_{0}^\infty e^{-y^2}dy\, = \int_{0}^\infty\int_{0}^\infty e^{-(x^2+y^2)}dx dy~.$

En la darrera d'aquestes igualtats estem emprant el teorema de Fubini. En la integraci?? emprem dos s??mbols diferents, x i y, per a les dues variables d'integraci?? perqu?? cadascuna d'elles hi juga un paper independent. Aquesta expressi?? es pot veure tamb?? com el producte de dues funcions sim??triques respecte la recta y=x.

Ara passem a coordenades polars amb els canvi $x = ?? c o s ??$ , $y = ?? s i n ??$ , $d x d y = ?? d ?? d ??.$ . Obtenim aix??,

$I^2 = \iint_{\R^+ \times [0,\, \frac{\pi}{2}]} \mathrm{e}^{-\rho^2}\, \rho\, \mathrm d\rho\, \mathrm d\theta$

Com abans, les variables $??$ i $??$ se separen. Per tant,

$I^2 = \int_0^{\frac \pi 2}d\theta\,\int_0^\infty e^{-\rho^2}\rho d\rho$

La primera integral ??s immediata. Per calcular la segona cal fer el canvi u enlloc de ???? i canviar, per tant, ?? d?? per $\frac {du} 2$ . Obtenim d'aquesta manera,

$I^2 = \frac \pi 2 \int_0^\infty {\rho e^{-\rho^2} d\rho} = \frac \pi 4 \int_0^\infty {e^{-u}du} = \frac \pi 4$

Com que l'exponencial ??s sempre positiva, fent l'arrel quadrada obtenim el resultat de la integral $I$ , que estavem cercant. Aix?? ??s,

$I = \int_{0}^\infty e^{-x^2}\,dx= \frac {\sqrt{\pi}} 2.$

[edita] La integral de les funcions gaussianes

La integral de qualsevol funci?? gaussiana es pot reduir a una integral de Gauss.

$\int_{-\infty}^{\infty} ae^{-(x+b)^2/c^2}\,dx.$

La constant a es pot treure fora de la integral. Aleshores, substitu??nt x per y - b obtenim

$a\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2/c^2}\,dy.$

Fent el canvi de y per cz obtenim

$ac\int_{-\infty}^\infty e^{-z^2}\,dz$

$=ac\sqrt{\pi}.$

Integraci??

C??lcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integraci?? simb??lica ?? Integral de Gau?? ?? Integral no elemental ?? Constant d???integraci?? ?? Algorisme de Risch ?? Funcions elementals ?? Teorema de Fubini ?? M??tode d'exhausti??
De fraccions racionals ?? Per canvi de variable ?? Per parts ?? Per substituci?? trigonom??trica ?? Per s??ries ?? Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals ?? Integrals de funcions irracionals ?? Integrals de funcions exponencials ?? Integrals de funcions logar??tmiques ?? Integrals de funcions trigonom??triques ?? Integrals inverses de funcions trigonom??triques ?? Integrals de funcions hiperb??liques ?? Integrals de funcions inverses de les funcions hiperb??liques
Definicions d'integraci??
Integral de Bochner ?? Integral de Darboux ?? Integral de Henstock-Kurzwe ?? Integral de Lebesgue ?? Integral de Lebesgue-Stieltjes ?? Sumatori de Riemann ?? Integral de Riemann ?? Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impr??pia ?? Integral m??ltiple ?? Integral multiplicativa ?? Integral de superf??cie ?? Integral curvil??nia ?? Teorema de Fubini
Integraci?? num??rica
M??tode de Simpson ?? M??tode trapezial ?? M??tode rectangular ?? M??tode de Romberg ?? Integraci?? de Montecarlo ?? F??rmules de Newton-Cotes ?? Sumatori de Riemann ?? Quadratura de Gauss ?? Quadratura adaptativa