Integral de Gauß

De Viquipèdia

La integral de Gauß és una integral definida, que fou calculada per primera vegada per Gauß. És la base de la distribució normal (o distribució gaussiana). És un element fonamental de la teoria de la probabilitat.

La integral s'expressa habitualment com

$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}~,$

o, de forma equivalent, com

$\int_{0}^\infty e^{-x^2}\,dx= \frac {\sqrt{\pi}} 2.$

La demostració d'aquesta integral està basada en el Teorema de Fubini.

[edita] El càlcul de la integral

El càlcul de la integral es pot obtenir a partir del teorema del residu de l'anàlisi complexa, i també es pot calcular amb un procediment analític.

Sigui I el valor d'aquesta integral. Aleshores,

$I^2 = \int_{0}^\infty e^{-x^2}dx\, \int_{0}^\infty e^{-y^2}dy\, = \int_{0}^\infty\int_{0}^\infty e^{-(x^2+y^2)}dx dy~.$

En la darrera d'aquestes igualtats estem emprant el teorema de Fubini. En la integració emprem dos símbols diferents, x i y, per a les dues variables d'integració perquè cadascuna d'elles hi juga un paper independent. Aquesta expressió es pot veure també com el producte de dues funcions simètriques respecte la recta y=x.

Ara passem a coordenades polars amb els canvi $x = ρ c o s θ$ , $y = ρ s i n θ$ , $d x d y = ρ d ρ d θ.$ . Obtenim així,

$I^2 = \iint_{\R^+ \times [0,\, \frac{\pi}{2}]} \mathrm{e}^{-\rho^2}\, \rho\, \mathrm d\rho\, \mathrm d\theta$

Com abans, les variables $ρ$ i $θ$ se separen. Per tant,

$I^2 = \int_0^{\frac \pi 2}d\theta\,\int_0^\infty e^{-\rho^2}\rho d\rho$

La primera integral és immediata. Per calcular la segona cal fer el canvi u enlloc de ρ² i canviar, per tant, ρ dρ per $\frac {du} 2$ . Obtenim d'aquesta manera,

$I^2 = \frac \pi 2 \int_0^\infty {\rho e^{-\rho^2} d\rho} = \frac \pi 4 \int_0^\infty {e^{-u}du} = \frac \pi 4$

Com que l'exponencial és sempre positiva, fent l'arrel quadrada obtenim el resultat de la integral $I$ , que estavem cercant. Això és,

$I = \int_{0}^\infty e^{-x^2}\,dx= \frac {\sqrt{\pi}} 2.$

[edita] La integral de les funcions gaussianes

La integral de qualsevol funció gaussiana es pot reduir a una integral de Gauss.

$\int_{-\infty}^{\infty} ae^{-(x+b)^2/c^2}\,dx.$

La constant a es pot treure fora de la integral. Aleshores, substituïnt x per y - b obtenim

$a\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2/c^2}\,dy.$

Fent el canvi de y per cz obtenim

$ac\int_{-\infty}^\infty e^{-z^2}\,dz$

$=ac\sqrt{\pi}.$

Integració

Càlcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integració simbòlica · Integral de Gauß · Integral no elemental · Constant d’integració · Algorisme de Risch · Funcions elementals · Teorema de Fubini · Mètode d'exhaustió
De fraccions racionals · Per canvi de variable · Per parts · Per substitució trigonomètrica · Per sèries · Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals · Integrals de funcions irracionals · Integrals de funcions exponencials · Integrals de funcions logarítmiques · Integrals de funcions trigonomètriques · Integrals inverses de funcions trigonomètriques · Integrals de funcions hiperbòliques · Integrals de funcions inverses de les funcions hiperbòliques
Definicions d'integració
Integral de Bochner · Integral de Darboux · Integral de Henstock-Kurzwe · Integral de Lebesgue · Integral de Lebesgue-Stieltjes · Sumatori de Riemann · Integral de Riemann · Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impròpia · Integral múltiple · Integral multiplicativa · Integral de superfície · Integral curvilínia · Teorema de Fubini
Integració numèrica
Mètode de Simpson · Mètode trapezial · Mètode rectangular · Mètode de Romberg · Integració de Montecarlo · Fórmules de Newton-Cotes · Sumatori de Riemann · Quadratura de Gauss · Quadratura adaptativa