Integral de Henstock-Kurzwe

De Viquipèdia

En matemàtiques, la integral de Henstock-Kurzweil, coneguda també com la intgral de Denjoy i la integral de Perron, és una possible definició de la integral d’una funció. És una generalització de la integral de Riemann que en algunes situacions és més útil que la integral de Lebesgue.

Aquesta integral va ser definida per primer cop per en Arnaud Denjoy (1912). Denjoy estava interessat en una definició que permetés integrar funcions com ara

$f(x)=\frac{1}{x}\sin\left(\frac{1}{x^3}\right).$

Aquesta funció té una singularitat al punt 0, i no és Lebesgue integrable. En canvi, sembla natural calcular la seva integral excepte sobre [−ε,δ] i llavors fer ε, δ → 0. De fet les definicions de Denjoy i de Lebesgue estan en total acord pel cas de funcions positives.

Al provar de trobar una teoria general, en Denjoy va fer servir la inducció transfinita sobre els tipus possibles de singularitats, això va fer que la definició resultés força complicada. Més tard es varen obtenir altres definicions per exemple la de Nikolai Luzin (utilitzant variacions de les nocions de continuïtat absoluta), i la de Oskar Perron, que estava interessat en funcions majors i menors contínues. Va costar una mica entendre que les integrals de Perron i de Denjoy són idèntiques. Més tard, al 1957, el matemàtic xec Jaroslav Kurzweil va descobrir una nova definició d’aquesta integral d’una elegància semblant a la definició original de Riemann de la qual en va dir integral de calibre; la teoria va ser desenvolupada per en Ralph Henstock. La simplicitat de la definició de Kurzweil va fer que alguns educadors advoquessin per que aquesta integral substituís a la integral de Riemann en els cursos d’introducció al càlcul, però aquesta idea no ha guanyat suport.

[edita] Definició

La definició de Henstock és com segueix:

Donada una partició P de [a, b] i un punt de cada subinterval:

$a = u_0 < u_1 < \cdots < u_n = b, \ \ t_i \in [u_{i-1}, u_i]$

I una funció positiva

$\delta \colon [a, b] \to (0, \infty),\,$

De la qual se’n diu un calibre, es diu que P és $δ$ -fina si

$\forall i \ \ u_i - u_{i-1} < \delta (t_i).$

Per una partició P i una funció

$f \colon [a, b] \to \mathbb{R}$

Es defineix el sumatori de Riemann

$\sum_P f = \sum_{i = 1}^n (u_i - u_{i-1}) f(t_i).$

Donada una funció

$f \colon [a, b] \to \mathbb{R},$

Ara es defineix que un nombre I és la integral de calibre de f si per cada ε > 0 existeix un calibre $δ$ tal que sempre que P és $δ$ -fina, es té

${\Big \vert} \sum_P f - I {\Big \vert} < \varepsilon.$

La integral de Riemann es pot considerar com el cas especial on només es permeten calibres constants. Fixeu-vos que degut al lema de Cousin, que diu que per cada calibre $δ$ hi ha un a partició $δ$ -fina, aquesta condició no es pot satisfer vàcuament.

[edita] Propietats

Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funció.

Si f é impròpiament Riemann integrable (vegeu integral impròpia), llavors f és calibre integrable. És més, si f és impròpiament calibre integrable, llavors f és pròpiament calibre integrable (teorema de Hake). Això mostra que no té sentit estudiar les "integrals de calibre impròpies".

Si f és afitada, llavors les següents afirmacions són equivalents: (i) f és Lebesgue integrable, (ii) f és calibre integrable, (iii) f és mesurable.

En general, f és Lebesgue integrable si i només si tant f com |f| són calibre integrables.

Si f és derivable a tot arreu, la seva derivada f' és calibre integrable. (Fixer-vos que no cal que f' sigui Lebesgue integrable.) Això porta a una versió més simple i satisfactòria del segon teorema fonamental del càlcul: cada funciñó derivable és, tret d’una constant, la integral de la seva derivada:

$f(x) - f(a) = \int_a^x f'(t) dt$ .

Si $a < c < b$ , llavors f és calibre integrable sobre $[a, b]$ si i només si és calibre integrable tant a $[a, c]$ com a $[c, b]$ .

[edita] Enllaços externs

Els següents són recursos addicionals en anglès a la xarxa per aprendre’n més:

[edita] Referències

Gordon, Russell A. (1994). The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Graduate Studies in Mathematics, 4, Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3805-9.

McLeod, Robert M. (1980). The generalized Riemann integral, Carus Mathematical Monographs, 20, Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-8838-5021-4.

Integració

Càlcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integració simbòlica · Integral de Gauß · Integral no elemental · Constant d’integració · Algorisme de Risch · Funcions elementals · Teorema de Fubini · Mètode d'exhaustió
De fraccions racionals · Per canvi de variable · Per parts · Per substitució trigonomètrica · Per sèries · Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals · Integrals de funcions irracionals · Integrals de funcions exponencials · Integrals de funcions logarítmiques · Integrals de funcions trigonomètriques · Integrals inverses de funcions trigonomètriques · Integrals de funcions hiperbòliques · Integrals de funcions inverses de les funcions hiperbòliques
Definicions d'integració
Integral de Bochner · Integral de Darboux · Integral de Henstock-Kurzwe · Integral de Lebesgue · Integral de Lebesgue-Stieltjes · Sumatori de Riemann · Integral de Riemann · Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impròpia · Integral múltiple · Integral multiplicativa · Integral de superfície · Integral curvilínia · Teorema de Fubini
Integració numèrica
Mètode de Simpson · Mètode trapezial · Mètode rectangular · Mètode de Romberg · Integració de Montecarlo · Fórmules de Newton-Cotes · Sumatori de Riemann · Quadratura de Gauss · Quadratura adaptativa