Integral de Henstock-Kurzwe

De Viquip??dia

En matem??tiques, la integral de Henstock-Kurzweil, coneguda tamb?? com la intgral de Denjoy i la integral de Perron, ??s una possible definici?? de la integral d???una funci??. ??s una generalitzaci?? de la integral de Riemann que en algunes situacions ??s m??s ??til que la integral de Lebesgue.

Aquesta integral va ser definida per primer cop per en Arnaud Denjoy (1912). Denjoy estava interessat en una definici?? que permet??s integrar funcions com ara

$f(x)=\frac{1}{x}\sin\left(\frac{1}{x^3}\right).$

Aquesta funci?? t?? una singularitat al punt 0, i no ??s Lebesgue integrable. En canvi, sembla natural calcular la seva integral excepte sobre [?????,??] i llavors fer ??, ?? ??? 0. De fet les definicions de Denjoy i de Lebesgue estan en total acord pel cas de funcions positives.

Al provar de trobar una teoria general, en Denjoy va fer servir la inducci?? transfinita sobre els tipus possibles de singularitats, aix?? va fer que la definici?? result??s for??a complicada. M??s tard es varen obtenir altres definicions per exemple la de Nikolai Luzin (utilitzant variacions de les nocions de continu??tat absoluta), i la de Oskar Perron, que estava interessat en funcions majors i menors cont??nues. Va costar una mica entendre que les integrals de Perron i de Denjoy s??n id??ntiques. M??s tard, al 1957, el matem??tic xec Jaroslav Kurzweil va descobrir una nova definici?? d???aquesta integral d???una eleg??ncia semblant a la definici?? original de Riemann de la qual en va dir integral de calibre; la teoria va ser desenvolupada per en Ralph Henstock. La simplicitat de la definici?? de Kurzweil va fer que alguns educadors advoquessin per que aquesta integral substitu??s a la integral de Riemann en els cursos d???introducci?? al c??lcul, per?? aquesta idea no ha guanyat suport.

[edita] Definici??

La definici?? de Henstock ??s com segueix:

Donada una partici?? P de [a, b] i un punt de cada subinterval:

$a = u_0 < u_1 < \cdots < u_n = b, \ \ t_i \in [u_{i-1}, u_i]$

I una funci?? positiva

$\delta \colon [a, b] \to (0, \infty),\,$

De la qual se???n diu un calibre, es diu que P ??s $??$ -fina si

$\forall i \ \ u_i - u_{i-1} < \delta (t_i).$

Per una partici?? P i una funci??

$f \colon [a, b] \to \mathbb{R}$

Es defineix el sumatori de Riemann

$\sum_P f = \sum_{i = 1}^n (u_i - u_{i-1}) f(t_i).$

Donada una funci??

$f \colon [a, b] \to \mathbb{R},$

Ara es defineix que un nombre I ??s la integral de calibre de f si per cada ?? > 0 existeix un calibre $??$ tal que sempre que P ??s $??$ -fina, es t??

${\Big \vert} \sum_P f - I {\Big \vert} < \varepsilon.$

La integral de Riemann es pot considerar com el cas especial on nom??s es permeten calibres constants. Fixeu-vos que degut al lema de Cousin, que diu que per cada calibre $??$ hi ha un a partici?? $??$ -fina, aquesta condici?? no es pot satisfer v??cuament.

[edita] Propietats

Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funci??.

Si f ?? impr??piament Riemann integrable (vegeu integral impr??pia), llavors f ??s calibre integrable. ??s m??s, si f ??s impr??piament calibre integrable, llavors f ??s pr??piament calibre integrable (teorema de Hake). Aix?? mostra que no t?? sentit estudiar les "integrals de calibre impr??pies".

Si f ??s afitada, llavors les seg??ents afirmacions s??n equivalents: (i) f ??s Lebesgue integrable, (ii) f ??s calibre integrable, (iii) f ??s mesurable.

En general, f ??s Lebesgue integrable si i nom??s si tant f com |f| s??n calibre integrables.

Si f ??s derivable a tot arreu, la seva derivada f' ??s calibre integrable. (Fixer-vos que no cal que f' sigui Lebesgue integrable.) Aix?? porta a una versi?? m??s simple i satisfact??ria del segon teorema fonamental del c??lcul: cada funci???? derivable ??s, tret d???una constant, la integral de la seva derivada:

$f(x) - f(a) = \int_a^x f'(t) dt$ .

Si $a < c < b$ , llavors f ??s calibre integrable sobre $[a, b]$ si i nom??s si ??s calibre integrable tant a $[a, c]$ com a $[c, b]$ .

[edita] Enlla??os externs

Els seg??ents s??n recursos addicionals en angl??s a la xarxa per aprendre???n m??s:

[edita] Refer??ncies

Gordon, Russell A. (1994). The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Graduate Studies in Mathematics, 4, Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3805-9.

McLeod, Robert M. (1980). The generalized Riemann integral, Carus Mathematical Monographs, 20, Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-8838-5021-4.

Integraci??

C??lcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integraci?? simb??lica ?? Integral de Gau?? ?? Integral no elemental ?? Constant d???integraci?? ?? Algorisme de Risch ?? Funcions elementals ?? Teorema de Fubini ?? M??tode d'exhausti??
De fraccions racionals ?? Per canvi de variable ?? Per parts ?? Per substituci?? trigonom??trica ?? Per s??ries ?? Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals ?? Integrals de funcions irracionals ?? Integrals de funcions exponencials ?? Integrals de funcions logar??tmiques ?? Integrals de funcions trigonom??triques ?? Integrals inverses de funcions trigonom??triques ?? Integrals de funcions hiperb??liques ?? Integrals de funcions inverses de les funcions hiperb??liques
Definicions d'integraci??
Integral de Bochner ?? Integral de Darboux ?? Integral de Henstock-Kurzwe ?? Integral de Lebesgue ?? Integral de Lebesgue-Stieltjes ?? Sumatori de Riemann ?? Integral de Riemann ?? Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impr??pia ?? Integral m??ltiple ?? Integral multiplicativa ?? Integral de superf??cie ?? Integral curvil??nia ?? Teorema de Fubini
Integraci?? num??rica
M??tode de Simpson ?? M??tode trapezial ?? M??tode rectangular ?? M??tode de Romberg ?? Integraci?? de Montecarlo ?? F??rmules de Newton-Cotes ?? Sumatori de Riemann ?? Quadratura de Gauss ?? Quadratura adaptativa