Taula d'integrals

De Viquipèdia

El càlcul de primitives és una de les dues operacions bàsiques del càlcul. Per a la derivació hi ha unes regles senzilles amb les que es pot trobar la derivada de qualsevol funció per complicada que sigui, a partir del càlcul de les derivades de les seves funcions components més senzilles. En el cas de la integral si s'ha de trobar una primitiva de la funció, això no passa, per tant molt sovint és útil tenir a mà una taula d'integrals conegudes.

També es diu taules de primitives i de fet resulta més apropiada aquesta expressió tret dels casos on hi ha valors concrets d'integrals definides, però històricament les primeres taules tenien el nom de taules d'integrals i és així com se les coneix més habitualment.

Es fa servir C per a indicar una constant d'integració que només es pot determinar si, per exemple, es coneix el valor de la integral en algun punt. Així, en general qualsevol funció té un nombre infinit de primitives.

De fet aquestes taules només són una altre forma de presentar les taules de derivades.

Taula de continguts

1 Desenvolupament històric de les taules d'integrals
2 Taules de primitives
3 Integrals definides que no tenen primitives tancades
- 3.1 El “somni de sophomore”
4 Vegeu també
5 Referències
6 Enllaços externs

[edita] Desenvolupament històric de les taules d'integrals

Una compilació de una llista de integrals (Integraltafeln) i de tècniques de càlcul integral va ser publicada pel matemàtic alemany Meyer Hirsch al 1810. Aquestes taules es varen reimprimir al Regne Unit al 1823. Unes taules més extenses varen ser compilades al 1858 pel matemàtic holandès David de Bierens de Haan. Una nova edició es va publicar en 1862. Aquestes taules, que contenen principalment integrals de funcions elementals, varen mantenir-se en ús fins a mitjans del segel XX. Llavores varen ser desplaçades per les taules molt més extenses de Gradshteyn i Rhyzik. A la taula de Gradshteyn i Rhyzik, les integrals procedents del llibre de de Bierens s'indiquen amb BI.

[edita] Taules de primitives

[edita] Funcions racionals

Article principal: Llista d'integrals de funcions racionals

$\int \,dx = x + C$

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ if }n \ne -1$

$\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C$

$\int {dx \over {a^2+b^2x^2}} = {1 \over ab}\arctan {bx \over a} + C$

[edita] Funcions irracionals

Article principal: Llista d'integrals de funcions irracionals

$\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} {x \over a} + C$

$\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos^{-1} {x \over a} + C$

$\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C$

[edita] Funcions logarítmiquess

Article principal: Llista d'integrals de funcions logarítmiques

$\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C$

$\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C$

[edita] Funcions exponencials

Article principal: Llista d'integrals de funcions exponencials

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

[edita] Funcions trigonomètriques

Article principal: Llista d'integrals de funcions trigonomètriques

Article principal: Llista d'integrals d'inverses de funcions trigonomètriques

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$

$\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

$\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C$

$\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C$

$\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C$

$\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C$

$\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C$

(vegeu integral de la secant al cub)

$\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx$

$\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx$

$\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C$

[edita] Funcions hiperbòliques

Article principal: Llista d'integrals de funcions hiperbòliques

$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$

$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$

$\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C$

$\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C$

$\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C$

$\int \mbox{sech}^2 x\, dx = \tanh x + C$

[edita] Inverses de les funcions hiperbòliques

$\int \operatorname{arcsinh} x \, dx = x \operatorname{arcsinh} x - \sqrt{x^2+1} + C$

$\int \operatorname{arccosh} x \, dx = x \operatorname{arccosh} x - \sqrt{x^2-1} + C$

$\int \operatorname{arctanh} x \, dx = x \operatorname{arctanh} x + \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C$

$\int \operatorname{arccsch}\,x \, dx = x \operatorname{arccsch} x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C$

$\int \operatorname{arcsech}\,x \, dx = x \operatorname{arcsech} x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C$

$\int \operatorname{arccoth}\,x \, dx = x \operatorname{arccoth} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C$

[edita] Integrals definides que no tenen primitives tancades

Hi ha funcions que les seves primitives no es poden expressar en una forma tancada (no es poden expressar com a composicions, sumes i multiplicacions de funcions racionals, irracionals, exponencials, logarítmiques, trigonomètriques i inverses de les funcions trigonomètriques). En canvi, els valors de les integrals definides d'aquestes funcions sobre alguns intervals comuns, es poden calcular simbòlicament i obtenir-ne un valor exacte. Tot seguin se'n donen unes quantes d'utilitat.

$\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$ (vegeu també Funció Gamma)

$\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$ (La integral de Gauß)

$\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}$ (vegeu també nombre de Bernoulli)

$\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}$

$\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}$

$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot n}\frac{\pi}{2}$ (si n és un enter senar i $\scriptstyle{n \ge 2}$ )

$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot n}$ (si $\scriptstyle{n}$ és un enter parell i $\scriptstyle{n \ge 3}$ )

$\int_0^\infty\frac{\sin^2{x}}{x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}$

$\int_0^\infty x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z)$ (on

Γ(z)

és la funció Gamma)

$\int_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right]$ (on

exp[u]

és la funció exponencial

e u

, and

a > 0

)

$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)$ (on

I 0 (x)

és la funció de Bessel modificada de primera classe)

$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)$

$\int_{-\infty}^{\infty}{(1 + x^2/\nu)^{-(\nu + 1)/2}dx} = \frac { \sqrt{\nu \pi} \ \Gamma(\nu/2)} {\Gamma((\nu + 1)/2))}\,$ , $\nu > 0\,$ , aquesta integral està relacionada amb la funció densitat de probabilitat de la distribució t de Student)

El mètode d'exhaustió subministra una fórmula pel cas general quant no existeix una primitiva:

$\int_a^b{f(x)\,dx} = (b - a) \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^{2^n - 1} {\left( { - 1} \right)^{m + 1} } } 2^{ - n} f(a + m\left( {b - a} \right)2^{-n} )$

$\int_0^1 e^{x\cdot \ln a + (1-x)\cdot \ln b}\;\mathrm{d}x = \int_0^1 \left(\frac{a}{b}\right)^{x}\cdot b\;\mathrm{d}x = \int_0^1 a^{x}\cdot b^{1-x}\;\mathrm{d}x = \frac{a-b}{\ln a - \ln b}$ per $a > 0,\ b > 0,\ a \ne b$ , que és la mitjana logarítmica

$\int_{0}^{\infty} e^{-ax}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}$

$\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)$ (la integral de Gauß)

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)$

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} e^{2bx}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{a}} \quad (a>0)$

$\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-a(x-b)^2}\,\mathrm{d}x=b \sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)$

$\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a^3} \quad (a>0)$

$\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x = \begin{cases} \frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)/a^{\frac{n+1}{2}} & (n>-1,a>0) \\ \frac{(2k-1)!!}{2^{k+1}a^k}\sqrt{\frac{\pi}{a}} & (n=2k, k \;\text{integer}, a>0) \\ \frac{k!}{2a^{k+1}} & (n=2k+1,k \;\text{integer}, a>0) \end{cases}$ (!! és el Doble factorial)

$\int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax}\,\mathrm{d}x = \begin{cases} \frac{\Gamma(n+1)}{a^{n+1}} & (n>-1,a>0) \\ \frac{n!}{a^{n+1}} & (n=0,1,2,\ldots,a>0) \\ \end{cases}$

$\int_{0}^{\infty} e^{-ax}\sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{b}{a^2+b^2} \quad (a>0)$

$\int_{0}^{\infty} e^{-ax}\cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{a}{a^2+b^2} \quad (a>0)$

$\int_{0}^{\infty} xe^{-ax}\sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{2ab}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)$

$\int_{0}^{\infty} xe^{-ax}\cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{a^2-b^2}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)$

[edita] El “somni de sophomore”

$\begin{align} \int_0^1 x^{-x}\,dx &= \sum_{n=1}^\infty n^{-n} &&(= 1.291285997\dots)\\ \int_0^1 x^x \,dx &= \sum_{n=1}^\infty -(-1)^nn^{-n} &&(= 0.783430510712\dots) \end{align}$

(atribuïda a Johann Bernoulli; vegeu somni de sophomore).

[edita] Vegeu també

[edita] Referències

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.

I.S. Gradshteyn (И.С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И.М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Table of Integrals, Series, and Products, seventh edition. Academic Press, 2007. ISBN 978-0-12-373637-6. Errata. (Several previous editions as well.)

Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st edition. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3. (Many earlier editions as well.)

[edita] Enllaços externs

[edita] Càlcul d'integrals en línia

The Integrator (at Wolfram Research)
TILU Table of Integrals Look Up (maintained by Richard Fateman)

[edita] Taules d'integrals

S.O.S. Mathematics: Tables and Formulas
Indefinite and Definite Integrals (at EqWorld)

[edita] Taules històriques

Meyer Hirsch, Integraltafeln, oder, Sammlung von Integralformeln (Duncker un Humblot, Berlin, 1810)
Meyer Hirsch, Integral Tables, Or, A Collection of Integral Formulae (Baynes and son, London, 1823)
David de Bierens de Haan, Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)

Integració

Càlcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integració simbòlica · Integral de Gauß · Integral no elemental · Constant d’integració · Algorisme de Risch · Funcions elementals · Teorema de Fubini · Mètode d'exhaustió
De fraccions racionals · Per canvi de variable · Per parts · Per substitució trigonomètrica · Per sèries · Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals · Integrals de funcions irracionals · Integrals de funcions exponencials · Integrals de funcions logarítmiques · Integrals de funcions trigonomètriques · Integrals inverses de funcions trigonomètriques · Integrals de funcions hiperbòliques · Integrals de funcions inverses de les funcions hiperbòliques
Definicions d'integració
Integral de Bochner · Integral de Darboux · Integral de Henstock-Kurzwe · Integral de Lebesgue · Integral de Lebesgue-Stieltjes · Sumatori de Riemann · Integral de Riemann · Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impròpia · Integral múltiple · Integral multiplicativa · Integral de superfície · Integral curvilínia · Teorema de Fubini
Integració numèrica
Mètode de Simpson · Mètode trapezial · Mètode rectangular · Mètode de Romberg · Integració de Montecarlo · Fórmules de Newton-Cotes · Sumatori de Riemann · Quadratura de Gauss · Quadratura adaptativa

Categoria: Taules d'integrals